부정적분의 초등함수 표현(Integration in finite terms) 문서 원본 보기

==개요==

 

 

==리우빌의 정리==

(정리 ) 리우빌, 1835

(a) <math>F</math>가 <math>x,y_1,\cdots,y_m</math>의 대수적함수이고,  <math>y_1,\cdots,y_m</math> 는 <math>x</math>의 함수로서 <math>\frac{dy_1}{dx},\cdots,\frac{dy_m}{dx}</math> 가 <math>x,y_1,\cdots,y_m</math>의 대수적함수로 표현된다면, 다음 두 명제는 동치이다.

(i) <math>\int F(x,y_1,y_2,\cdots,y_m) \,dx</math> 는 초등함수이다.

(ii) <math>\int F(x,y_1,y_2,\cdots,y_m) \,dx=U_0+\sum_{j=1}^{n}C_j \ln(U_j)</math>  여기서 <math>C_j</math>는 상수이고, <math>U_j</math>는 <math>x,y_1,\cdots,y_m</math>의 대수적함수

(b)  <math>F</math>가 <math>x,y_1,\cdots,y_m</math>의 유리함수이고,  <math>y_1,\cdots,y_m</math> 는 <math>x</math>의 함수로서 <math>\frac{dy_1}{dx},\cdots,\frac{dy_m}{dx}</math> 가 <math>x,y_1,\cdots,y_m</math>의 유리함수로 표현된다면, 다음 두 명제는 동치이다.

(i) <math>\int F(x,y_1,y_2,\cdots,y_m) \,dx</math> 는 초등함수이다.

(ii) <math>\int F(x,y_1,y_2,\cdots,y_m) \,dx=U_0+\sum_{j=1}^{n}C_j \ln(U_j)</math>  여기서 <math>C_j</math>는 상수이고, <math>U_j</math>는 <math>x,y_1,\cdots,y_m</math>의 유리함수 

 

 

==리우빌 정리의 특수한 경우==

(정리 ) 리우빌, 1835

<math>f(x), g(x)</math> 는 유리함수이면,  (단, <math>g(x)</math> 는 상수함수가 아님) 다음 두 명제는 동치이다.

(i)<math>\int f(x)e^{g(x)} \,dx</math> 는 초등함수이다.

(ii) 유리함수 <math>R(x)</math>가 존재하여 <math>f(x)=R'(x)+R(x)g'(x)</math> 를 만족시킨다.

 

(증명)은 '''[Ritt48]'''

*  노트
** <math>F(x,y_1)=xy_1</math>, <math>y_1=e^{g(x)}</math> 로 두면 리우빌 정리(b)의 조건을 만족시킴:<math>y_1'=g'(x)e^{g(x)}=g'(x)y_1</math> 는 <math>x,y_1</math> 의 유리함수

 

(따름정리)

정수 n에 대하여 <math>\int x^{2n}e^{ax^2} dx</math> (<math>a\neq 0</math>)는 초등함수가 아니다.

자연수 n에 대하여 <math>\int x^{-n}e^{cx} dx</math> (<math>c\neq 0</math>)는 초등함수가 아니다.

==예==

*  초등함수가 아닌경우:<math>\int e^{-\frac{x^2}{2}} dx</math>
* http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+sqrt+ln+x<math>\int \sqrt{\ln x} dx=\int 2t^2e^{t^2}dt</math>, <math>t^2=\ln x</math>
* http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+1+over+sqrt+ln+x[http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+1+over+sqrt+ln+x ]<math>\int \frac{1}{\sqrt{\ln x}} dx=\int 2e^{t^2}dt</math>, <math>t^2=\ln x</math>

<math>\int \frac{e^{ax}}{\sqrt{x}} dx=\int 2e^{at^2}dt</math>, <math>t^2=x</math>

<math>\int e^{e^{x}} dx=\int \frac{e^t}{t}dt</math>, <math>t=e^x</math>

<math>\int \frac{1}{\ln x} dx=\int \frac{e^{t}}{t}dt</math>, <math>t=\ln x</math>

<math>\int \ln(\ln x)dx = x\ln (\ln x) -\int \frac{1}{\ln x} dx</math>

<math>\int \frac{\sin x}{x} dx = \mbox{Im}(\int \frac{e^{ix}}{x}dx)</math>

* '''[MAR94]''' 참고

 

 

==체비셰프의 정리==

(정리)

유리수 <math>p,q,r\neq0</math>와 실수 <math>a,b</math>에 대하여, 다음 둘은 동치이다.

 

(i)<math>\int x^p(a+bx)^q \,dx</math> 는 초등함수이다.

(ii) <math>\frac{(p+1)}{r},q,\frac{(p+1)}{r}+q</math> 중에 적어도 하나는 정수이다.

 

 

==예==

<math>\int \sqrt[3]{1+x^2}dx</math> 는 초등함수가 아니다.
<math>f(x)=x^k</math> 의 그래프의 길이함수 <math>\int \sqrt{1+k^2x^{2k-2}}\,dx</math> 는 <math>k=1</math> 또는 <math>k=1+\frac{1}{n}</math> 일 때만 초등함수이다.
* http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+sqrt+sin+x
* <math>\int \sqrt{\sin x}\,dx=\int u^{1/2}(1-u^2)^{-1/2}\,du</math> (<math>u=\sin x</math>) 는 초등함수가 아니다. 
* http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+sqrt+cos+x
* <math>\int \sqrt{\cos x}\,dx</math> 는 초등함수가 아니다.
* <math>\int \sqrt{\tan x}\,dx</math>는 초등함수이다. (<math>u^2=\tan x</math>)

정수 <math>m,n</math>에 대하여, <math>\int (1-x^n)^{1/m}</math> 는 초등함수이다. <math>\iff</math> <math>m=\pm 1</math> 또는 <math>n=\pm 1</math> 또는 <math>m=n=2</math> 또는 <math>m=-n</math>

<math>\int (\sin x)^m(\cos x)^n \,dx</math> 는 모든 정수 <math>m,n</math>에 대하여 초등함수이다.  

*  참고 '''[MAR94]'''

==역사==

* [[수학사 연표]]

 

 

[[수학사 연표]]

==관련된 항목들==

* [[불가능성의 정리들]]
* [[타원적분|타원적분, 타원함수, 타원곡선]]
* [[5차방정식과 근의 공식|일반적인 5차 이상의 방정식의 대수적 해가 존재하지 않음에 대한 아벨의 증명]]

 

 

==관련도서\==

* [http://www.amazon.com/Galois-Dream-Theory-Differential-Equations/dp/0817636889/ref=sr_1_1?ie=UTF8&s=books&qid=1238914115&sr=1-1 Galois' Dream: Group Theory and Differential Equations ]
** Michio Kuga

* '''[Ritt48]'''Integration in finite terms: Liouville's theory of elementary methods
** Joseph Fels Ritt,Columbia University Press, 1948

 

 

==위키링크==

* http://en.wikipedia.org/wiki/Differential_Galois_theory

 

 

==관련논문==

* [http://www.turpion.org/php/paper.phtml?journal_id=rm&paper_id=759 On solvability and unsolvability of equations in explicit form]
** A G Khovanskii, Russian Math. Surveys 2004, 59 (4), 661-736
* [http://math.stanford.edu/%7Econrad/papers/finalint.pdf Integration in elementary terms]
** [http://math.stanford.edu/%7Econrad/ Brian Conrad], webpage
* [http://www.springerlink.com/content/ww88811082545480/ From analytic to algebraic methods. Liouville’s approach to integration in finite terms]
** Jesper Lützen, NTM Zeitschrift für Geschichte der Wissenschaften, Technik und Medizin, Volume 2, Number 1 / 1994년 12월
* '''[MAR94]'''[http://www.jstor.org/stable/2687614 An Invitation to Integration in Finite Terms]
** Elena Anne Marchisotto and Gholam-Ali Zakeri, <cite style="line-height: 2em;">The College Mathematics Journal</cite>, Vol. 25, No. 4 (Sep., 1994), pp. 295-308
* [http://www.jstor.org/stable/2689612 Integration in Finite Terms: The Liouville Theory]
** Toni Kasper, <cite style="line-height: 2em;">Mathematics Magazine</cite>, Vol. 53, No. 4 (Sep., 1980), pp. 195-201
* [http://projecteuclid.org/euclid.pjm/1102866806 On Liouville's theory of elementary functions]
** Maxwell Rosenlicht, <em style="">Pacific J. Math. Volume 65, Number 2 (1976), 485-492</em>
* [http://www.jstor.org/stable/2318066 Integration in Finite Terms]
** Maxwell Rosenlicht, <cite style="line-height: 2em;">The American Mathematical Monthly</cite>, Vol. 79, No. 9 (Nov., 1972), pp. 963-972
* [http://www.jstor.org/stable/1995313 The Problem of Integration in Finite Terms]
** Robert H. Risch, <cite style="line-height: 2em;">[http://www.jstor.org/action/showPublication?journalCode=tranamermathsoci Transactions of the American Mathematical Society]</cite>, Vol. 139, (May, 1969), pp. 167-189
* [http://projecteuclid.org/euclid.pjm/1102991609 Liouville's theorem on functions with elementary integrals]
** Maxwell Rosenlicht, Pacific J. Math. Volume 24, Number 1 (1968), 153-161
[[분류:적분]]