그레고리-라이프니츠 급수 - 편집 역사

2020년 12월 28일 (월) 10:08에 Pythagoras0님의 편집

2020-12-28T10:08:09Z

2020년 11월 16일 (월) 11:57에 Pythagoras0님의 편집

2020-11-16T11:57:30Z

Pythagoras0: /* 예 */

2014-10-27T04:03:52Z

예

Pythagoras0: /* 예 */

2014-10-27T04:03:07Z

예

Pythagoras0: /* 그레고리-라이프니츠 급수를 이용한 파이값의 계산 */

2014-10-27T03:59:11Z

그레고리-라이프니츠 급수를 이용한 파이값의 계산

2014년 10월 27일 (월) 03:58에 Pythagoras0님의 편집

2014-10-27T03:58:28Z

차이 보기

2013년 3월 14일 (목) 08:03에 Pythagoras0님의 편집

2013-03-14T08:03:06Z

Pythagoras0: 찾아 바꾸기 – “수학사연표” 문자열을 “수학사 연표” 문자열로

2013-01-14T22:05:32Z

찾아 바꾸기 – “수학사연표” 문자열을 “수학사 연표” 문자열로

Pythagoras0: 찾아 바꾸기 – “네이버(.*)]” 문자열을 “” 문자열로

2012-11-02T20:08:23Z

찾아 바꾸기 – “네이버(.*)]” 문자열을 “” 문자열로

Pythagoras0: 찾아 바꾸기 – “* [http://navercast.naver.com/science/list ” 문자열을 “” 문자열로

2012-11-02T16:36:23Z

찾아 바꾸기 – “* [http://navercast.naver.com/science/list ” 문자열을 “” 문자열로

@@ 4번째 줄: / 4번째 줄: @@
 :<math>1 \,-\, \frac{1}{3} \,+\, \frac{1}{5} \,-\, \frac{1}{7} \,+\, \frac{1}{9} \,-\, \cdots \;=\; \frac{\pi}{4}</math>
-−
 ==그레고리-라이프니츠 급수를 이용한 파이값의 계산==
@@ 34번째 줄: / 34번째 줄: @@
 \end{array}
 </math>
-−
 이제 다시 본론으로 돌아가서, 라이프니츠 급수의 오차항에 대해 알아보자. 오일러수를 사용하면, 이 급수와 수렴값의 차이를 다음과 같이 표현할 수 있다.
@@ 44번째 줄: / 44번째 줄: @@
 :<math>4\sum_{k=n+1}^{\infty}\frac{(-1)^{k-1}}{2k-1 }=(-1)^n\sum_{k=0}^{M}\frac{2E_{2k}}{(2n)^{2k+1}}+R(M)</math>
-여기서 <math>|R(M)| \leq \frac{2|E_{2k}|}{(2n)^{2M+1}}</math>
+여기서 <math>|R(M)| \leq \frac{2|E_{2k}|}{(2n)^{2M+1}}</math>
-−
-따라서 <math>N=10^{l}</math> 일때,  (4배한) 라이프니츠급수와 파이의 자릿수는 소수점 <math>l</math>번째(또는 그 앞) 자리에서 처음 다르게 나타난다.
+따라서 <math>N=10^{l}</math> 일때,  (4배한) 라이프니츠급수와 파이의 자릿수는 소수점 <math>l</math>번째(또는 그 앞) 자리에서 처음 다르게 나타난다.
-오차항에 대해서는 <math>2E_{2(M+1)}</math>과 <math>10^{2l}</math> 의 자릿수가 엇비슷해지는 <math>M</math>을 찾았을때 <math>k=M</math> 까지 오차항을 계산하면 파이의 자릿수를 어느 정도 얻을 수 있겠다.
+오차항에 대해서는 <math>2E_{2(M+1)}</math>과 <math>10^{2l}</math> 의 자릿수가 엇비슷해지는 <math>M</math>을 찾았을때 <math>k=M</math> 까지 오차항을 계산하면 파이의 자릿수를 어느 정도 얻을 수 있겠다.
-라이프니츠 급수로도 오일러수를 통한 보정으로 파이의 자릿수를 소수점아래 <math>(2M+1)l</math> 자리까지는 얻을 수 있다는 얘기다.
+라이프니츠 급수로도 오일러수를 통한 보정으로 파이의 자릿수를 소수점아래 <math>(2M+1)l</math> 자리까지는 얻을 수 있다는 얘기다.
-−
 이렇게 하고 끝을 맺으면, 뭔가 얻은거 같은 느낌이 없을 가능성이 높으므로 쉬운 예를 통해서 이해해보자.
-−
 ===예===
-<math>N=10^2</math> 인 경우, <math>2E_6</math>가 네자리 수이므로, <math>M=2</math> 로 두면 위의 말대로, 라이프니츠 급수를 통하여 파이의 소수점 10자리 정도의 전개정도는 얻을 수 있다.
+<math>N=10^2</math> 인 경우, <math>2E_6</math>가 네자리 수이므로, <math>M=2</math> 로 두면 위의 말대로, 라이프니츠 급수를 통하여 파이의 소수점 10자리 정도의 전개정도는 얻을 수 있다.
 :<math>4\sum_{k=1}^{50}\frac{(-1)^{k-1}}{2k-1}=3.12159465259101047851\cdots</math>
-−
 .1'''2'''345'''6'''78'''90'''1234567890123456789012345678901234567890123456789
@@ 71번째 줄: / 71번째 줄: @@
 .1'''2'''159'''4'''65'''25'''9101047851… (위의 급수)
-−
 자릿수가 다른 곳의 차이를 보면, 오일러수인 2, -2, 10, -122가 나타나는 것을 볼 수 있다.
-−
 ===예===
-<math>N=10^3</math> 인 경우, <math>2E_{10}</math>이 여섯자리 수이므로, <math>M=4</math> 로 두면 위의 말대로, 라이프니츠 급수를 통하여 파이의 소수점 27자리 정도의 전개정도는 얻을 수 있다.
+<math>N=10^3</math> 인 경우, <math>2E_{10}</math>이 여섯자리 수이므로, <math>M=4</math> 로 두면 위의 말대로, 라이프니츠 급수를 통하여 파이의 소수점 27자리 정도의 전개정도는 얻을 수 있다.
@@ 89번째 줄: / 89번째 줄: @@
 .1'''39'''59265'''5'''5897'''8'''3238'''584'''64'''0613'''38053947906585258315983
-−
 자릿수가 다른 곳의 차이를 보면, 오일러수 2, -2, 10, -122, 2770가 나타난다.
-−
-−
 ===예===
-<math>N=10^4</math> 인 경우, <math>E_{12}</math>가 일곱자리 수이므로, <math>M=5</math> 로 두면 위의 말대로, 라이프니츠 급수를 통하여 파이의 소수점 44자리 정도의 전개를 얻을 수 있다.
+<math>N=10^4</math> 인 경우, <math>E_{12}</math>가 일곱자리 수이므로, <math>M=5</math> 로 두면 위의 말대로, 라이프니츠 급수를 통하여 파이의 소수점 44자리 정도의 전개를 얻을 수 있다.
 :<math>4\sum_{k=1}^{5000}\frac{(-1)^{k-1}}{2k-1}=3.141392653591793238362643395479500114198179\cdots</math>
-−
 .123'''4'''5678901'''2'''345678'''90'''12345'''678'''9012'''3456'''78'''901234'''567890123456789
@@ 111번째 줄: / 111번째 줄: @@
 .141'''3'''926535'''91'''793238'''36'''26433'''954'''7950'''0114'''19'''817981'''88345532196965187625458916006334194979629989247706731687
-−
-자릿수가 다른 곳의 차이를 보면, 2, -2, 10, -122, 2770, -101042가 나타난다.
+자릿수가 다른 곳의 차이를 보면, 2, -2, 10, -122, 2770, -101042가 나타난다.
-−
 ==메모==
 * [http://bomber0.byus.net/index.php/2009/09/14/1490 라이프니츠 급수에 대한 재미있는 현상]
-−
 ==관련논문==

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 처음 몇 개의 [[오일러 수]]는 다음과 같다.
-$$
+:<math>
 \begin{array}{c|c}
   n & E_n \\
@@ 33번째 줄: / 33번째 줄: @@
 & 2702765
 \end{array}
-$$
+</math>

@@ 107번째 줄: / 107번째 줄: @@
 .123'''4'''5678901'''2'''345678'''90'''12345'''678'''9012'''3456'''78'''901234'''567890123456789
-.141'''5'''926535'''8''''''9'''793238'''46'''26433'''832'''7950'''2884'''19'''716939'''937510582
+.141'''5'''926535'''89'''793238'''46'''26433'''832'''7950'''2884'''19'''716939'''937510582
-.141'''3'''926535'''9''''''1'''793238'''36'''26433'''954'''7950'''0''''''114'''19'''817981'''88345532196965187625458916006334194979629989247706731687
+.141'''3'''926535'''91'''793238'''36'''26433'''954'''7950'''0114'''19'''817981'''88345532196965187625458916006334194979629989247706731687

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 :<math>4\sum_{k=1}^{500}\frac{(-1)^{k-1}}{2k-1}=3.13959265558978323858464061338053947906585258315983\cdots</math>
+.12'''3'''45678'''9'''0123'''4'''5678'''901'''23'''4567'''89012345678901234567890123456789
-.1'''41'''59265'''3'''5897'''9'''3238'''462'''64'''33''''''83'''27950288419716939937510582
+.1'''41'''59265'''3'''5897'''9'''3238'''462'''64'''3383'''27950288419716939937510582
 .1'''39'''59265'''5'''5897'''8'''3238'''584'''64'''0613'''38053947906585258315983

@@ 16번째 줄: / 16번째 줄: @@
 .141'''5'''926535'''89'''793238'''4'''626433'''832'''7950'''288'''4197169… (원래 파이값)
 이제 왜 이런 현상이 일어났는가 설명하기 위해 [[오일러수]]라는 것을 정의하자. 이 수는 시컨트 함수의 맥클로린 급수의 계수를 통하여 다음과 같이 정의된다.
 :<math>\sec x = 1 + \frac {x^2} {2} + \frac {5 x^4} {24} + \frac {61 x^6} {720} + \cdots=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n E_{2n} x^{2n}}{(2n)!}</math>
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 ===예===
 <math>N=10^2</math> 인 경우, <math>2E_6</math>가 네자리 수이므로, <math>M=2</math> 로 두면 위의 말대로, 라이프니츠 급수를 통하여 파이의 소수점 10자리 정도의 전개정도는 얻을 수 있다.
+:<math>4\sum_{k=1}^{50}\frac{(-1)^{k-1}}{2k-1}=3.12159465259101047851\cdots</math>
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 ===예===
 <math>N=10^3</math> 인 경우, <math>2E_{10}</math>이 여섯자리 수이므로, <math>M=4</math> 로 두면 위의 말대로, 라이프니츠 급수를 통하여 파이의 소수점 27자리 정도의 전개정도는 얻을 수 있다.
-<math>4\sum_{k=1}^{500}\frac{(-1)^{k-1}}{2k-1}=3.13959265558978323858464061338053947906585258315983\cdots</math>
+:<math>4\sum_{k=1}^{500}\frac{(-1)^{k-1}}{2k-1}=3.13959265558978323858464061338053947906585258315983\cdots</math>
 .12'''3'''45678'''9'''0123'''4'''5678'''901'''23'''45''''''67'''89012345678901234567890123456789
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 <math>N=10^4</math> 인 경우, <math>E_{12}</math>가 일곱자리 수이므로, <math>M=5</math> 로 두면 위의 말대로, 라이프니츠 급수를 통하여 파이의 소수점 44자리 정도의 전개를 얻을 수 있다.
+:<math>4\sum_{k=1}^{5000}\frac{(-1)^{k-1}}{2k-1}=3.141392653591793238362643395479500114198179\cdots</math>

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		+	[[분류:원주율]]

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 * http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=Leibniz+series+pi
-* [[수학사연표 (역사)|수학사연표]]
+* [[수학사 연표]]
+*

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