디리클레 베타함수 - 편집 역사

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Pythagoras0: /* 메타데이터 */ 새 문단

2020-12-28T14:34:27Z

메타데이터: 새 문단

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2020-11-12T09:01:41Z

Pythagoras0: /* 사전 형태의 자료 */

2015-05-08T02:31:31Z

사전 형태의 자료

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2015-04-08T01:17:21Z

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2015-03-30T05:00:00Z

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차이 보기

Pythagoras0: 찾아 바꾸기 – “수학사연표” 문자열을 “수학사 연표” 문자열로

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찾아 바꾸기 – “수학사연표” 문자열을 “수학사 연표” 문자열로

Pythagoras0: 찾아 바꾸기 – “
$” 문자열을 “: ” 문자열로$

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찾아 바꾸기 – “<br><math>” 문자열을 “:<math>” 문자열로

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 [[분류:특수함수]]
-== 메타데이터 ==
+==메타데이터==
 ===위키데이터===
 * ID :  [https://www.wikidata.org/wiki/Q1227706 Q1227706]

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	[[분류:특수함수]]		[[분류:특수함수]]
		+
		+	== 메타데이터 ==
		+
		+	===위키데이터===
		+	* ID : [https://www.wikidata.org/wiki/Q1227706 Q1227706]

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 ==Special values==
-*  아래에서 <math>E_n</math>은  [[오일러수]]이며, 다음과 같이 주어짐 ($n$이 홀수이면, $E_n=0$)
+*  아래에서 <math>E_n</math>은  [[오일러수]]이며, 다음과 같이 주어짐 (<math>n</math>이 홀수이면, <math>E_n=0</math>)
-$$
+:<math>
 \begin{array}{c|c}
   n & E_n \\
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 & 370371188237525
 \end{array}
-$$
+</math>
 * <math>k\geq 0 </math> 인 정수일 때,:<math>\beta(2k+1)={{{({-1})^k}{E_{2k}}{\pi^{2k+1}} \over {4^{k+1}}(2k)!}}</math>
 * <math>k\geq 0 </math>인 정수일 때,:<math>\beta(-k)={{E_{k}} \over {2}}</math>:<math>\beta(0)= \frac{1}{2}</math>:<math>\beta(1)\;=\;\tan^{-1}(1)\;=\;\frac{\pi}{4}</math>:<math>\beta(3)\;=\;\frac{\pi^3}{32}</math>:<math>\beta(5)\;=\;\frac{5\pi^5}{1536}</math>:<math>\beta(7)\;=\;\frac{61\pi^7}{184320}</math>:<math>G = \beta(2) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2n+1)^2} = \frac{1}{1^2} - \frac{1}{3^2} + \frac{1}{5^2} - \frac{1}{7^2} + \cdots \!=0.915965594\cdots</math>
@@ 38번째 줄: / 38번째 줄: @@
 [[정수에서의 리만제타함수의 값]] 에서 사용한 방식을 모방한다.
-<math>\beta(5)</math>의 경우를 예로 구해보자. 다음과 같은 함수 $$f(z):=\frac{\pi/2\sec(\pi z/2)}{z^{5}}$$에 대하여,
+<math>\beta(5)</math>의 경우를 예로 구해보자. 다음과 같은 함수 :<math>f(z):=\frac{\pi/2\sec(\pi z/2)}{z^{5}}</math>에 대하여,
 다음의 적분을 생각하자.
 :<math>\oint_{C_{R}}f(z)dz</math>
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 시컨트 함수의 멱급수 전개 ([[삼각함수와 쌍곡함수의 맥클로린 급수]] 참조)
 :<math>\sec x = 1 + \frac {x^2} {2} + \frac {5 x^4} {24} + \frac {61 x^6} {720} + \cdots=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n E_{2n} x^{2n}}{(2n)!}</math>
-를 이용하면, $f$의 $z=0$에서의 유수는
+를 이용하면, <math>f</math>의 <math>z=0</math>에서의 유수는
 :<math>\frac{\pi}{2}\times \frac{5}{24}\times \frac{\pi^4}{16}</math>임을 알 수 있다.

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 * http://en.wikipedia.org/wiki/Dirichlet_beta_function
 * http://mathworld.wolfram.com/DirichletBetaFunction.html
 [[분류:특수함수]]

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 *  정의:<math>\beta(s) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n} {(2n+1)^s} = \frac{1}{\Gamma(s)}\int_0^{\infty}\frac{t^{s-1}e^{-t}}{1 + e^{-2t}}\,dt=\frac{1}{2\Gamma(s)}\int_{0}^{\infty}\frac{1}{\cosh t}t^s \frac{\,dt}{t}</math>
-* <math>\chi \colon(\mathbb{Z}/4\mathbb{Z})^\times \to \mathbb C^{*}</math> , <math>\chi(1)=1</math>,  <math>\chi(-1)=-1</math> 인 경우의 디리클레 L-함수이다
+* <math>\chi \colon(\mathbb{Z}/4\mathbb{Z})^\times \to \mathbb C^{\times}</math> , <math>\chi(1)=1</math>,  <math>\chi(-1)=-1</math> 인 경우의 디리클레 L-함수이다
 :<math>L_{-4}(s) = \sum_{n\geq 1}\frac{\chi(n)}{n^s}=1-3^{-s}+5^{-s}-7^{-s}+9^{-s}-11^{-s}+\cdots, s>1</math>
 * 함수방정식 <math>\Lambda(s)=\Lambda(1-s)</math> 여기서
 :<math>\Lambda(s)=(\frac{\pi}{4})^{-{(s+1)}/{2}}\Gamma(\frac{s+1}{2})\beta(s)</math>
 * 함수방정식에 대한 일반적인 정리는 [[디리클레 L-함수]] 참조

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	* http://en.wikipedia.org/wiki/Dirichlet_beta_function		* http://en.wikipedia.org/wiki/Dirichlet_beta_function
	* http://mathworld.wolfram.com/DirichletBetaFunction.html		* http://mathworld.wolfram.com/DirichletBetaFunction.html
		+	[[분류:특수함수]]

← 이전 판	2014년 4월 23일 (수) 02:54 판
119번째 줄:	119번째 줄:


−	+	==메모==
	+	* http://arxiv.org/abs/1404.5467

← 이전 판		2013년 1월 14일 (월) 22:29 판
125번째 줄:		125번째 줄:
	==역사==		==역사==

−	* [[~~수학사연표 (역사)\|수학사연표~~]]	+	* [[수학사 연표]]

@@ 9번째 줄: / 9번째 줄: @@
 ==개요==
-*  정의<br><math>\beta(s) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n} {(2n+1)^s} = \frac{1}{\Gamma(s)}\int_0^{\infty}\frac{t^{s-1}e^{-t}}{1 + e^{-2t}}\,dt=\frac{1}{2\Gamma(s)}\int_{0}^{\infty}\frac{1}{\cosh t}t^s \frac{\,dt}{t}</math><br>
+*  정의:<math>\beta(s) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n} {(2n+1)^s} = \frac{1}{\Gamma(s)}\int_0^{\infty}\frac{t^{s-1}e^{-t}}{1 + e^{-2t}}\,dt=\frac{1}{2\Gamma(s)}\int_{0}^{\infty}\frac{1}{\cosh t}t^s \frac{\,dt}{t}</math><br>
-*   <math>\chi \colon(\mathbb{Z}/4\mathbb{Z})^\times \to \mathbb C^{*}</math> , <math>\chi(1)=1</math>,  <math>\chi(-1)=-1</math> 인 경우의 디리클레 L-함수<br><math>L_{-4}(s) = \sum_{n\geq 1}\frac{\chi(n)}{n^s}, s>1</math><br>
+*   <math>\chi \colon(\mathbb{Z}/4\mathbb{Z})^\times \to \mathbb C^{*}</math> , <math>\chi(1)=1</math>,  <math>\chi(-1)=-1</math> 인 경우의 디리클레 L-함수:<math>L_{-4}(s) = \sum_{n\geq 1}\frac{\chi(n)}{n^s}, s>1</math><br>
-*  함수방정식<br><math>\Lambda(s)=(\frac{\pi}{4})^{-{(s+1)}/{2}}\Gamma(\frac{s+1}{2})\beta(s)</math> 라 두면<br><math>\Lambda(s)=\Lambda(1-s)</math> 를 만족<br>
+*  함수방정식:<math>\Lambda(s)=(\frac{\pi}{4})^{-{(s+1)}/{2}}\Gamma(\frac{s+1}{2})\beta(s)</math> 라 두면:<math>\Lambda(s)=\Lambda(1-s)</math> 를 만족<br>
 *  함수방정식에 대한 일반적인 정리는 [[디리클레 L-함수]] 참조<br>
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 ==Special values==
-*  아래에서 <math>E_n</math>은  [[오일러수]]를 뜻함.<br><math>E_0=1</math>,<math>E_2 = â1</math>,<math>E_4 = 5</math>,<math>E_6 = â61</math>,<math>E_8 = 1,385</math>,<math>E_{10} = â50,521</math>,<math>E_{12} = 2,702,765</math>,<math>E_{14} = â199,360,981</math>,<math>E_{16} = 19,391,512,145</math>,<math>E_{18} = â2,404,879,675,441</math><br>
+*  아래에서 <math>E_n</math>은  [[오일러수]]를 뜻함.:<math>E_0=1</math>,<math>E_2 = â1</math>,<math>E_4 = 5</math>,<math>E_6 = â61</math>,<math>E_8 = 1,385</math>,<math>E_{10} = â50,521</math>,<math>E_{12} = 2,702,765</math>,<math>E_{14} = â199,360,981</math>,<math>E_{16} = 19,391,512,145</math>,<math>E_{18} = â2,404,879,675,441</math><br>
-* <math>k\geq 0 </math> 인 정수일 때,<br><math>\beta(2k+1)={{{({-1})^k}{E_{2k}}{\pi^{2k+1}} \over {4^{k+1}}(2k!)}}</math><br>
+* <math>k\geq 0 </math> 인 정수일 때,:<math>\beta(2k+1)={{{({-1})^k}{E_{2k}}{\pi^{2k+1}} \over {4^{k+1}}(2k!)}}</math><br>
-* <math>k\geq 0 </math>인 정수일 때,<br><math>\beta(-k)={{E_{k}} \over {2}}</math><br><math>\beta(0)= \frac{1}{2}</math><br><math>\beta(1)\;=\;\tan^{-1}(1)\;=\;\frac{\pi}{4}</math><br><math>\beta(3)\;=\;\frac{\pi^3}{32}</math><br><math>\beta(5)\;=\;\frac{5\pi^5}{1536}</math><br><math>\beta(7)\;=\;\frac{61\pi^7}{184320}</math><br><math>G = \beta(2) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2n+1)^2} = \frac{1}{1^2} - \frac{1}{3^2} + \frac{1}{5^2} - \frac{1}{7^2} + \cdots \!=0.915965594\cdots</math><br>
+* <math>k\geq 0 </math>인 정수일 때,:<math>\beta(-k)={{E_{k}} \over {2}}</math>:<math>\beta(0)= \frac{1}{2}</math>:<math>\beta(1)\;=\;\tan^{-1}(1)\;=\;\frac{\pi}{4}</math>:<math>\beta(3)\;=\;\frac{\pi^3}{32}</math>:<math>\beta(5)\;=\;\frac{5\pi^5}{1536}</math>:<math>\beta(7)\;=\;\frac{61\pi^7}{184320}</math>:<math>G = \beta(2) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2n+1)^2} = \frac{1}{1^2} - \frac{1}{3^2} + \frac{1}{5^2} - \frac{1}{7^2} + \cdots \!=0.915965594\cdots</math><br>
 ** [[카탈란 상수|카탈란상수]]로 많은 정적분에 등장함<br>
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 * <math>\beta'(1)</math> 의 값<br>
-* [[후르비츠 제타함수(Hurwitz zeta function)]]를 사용하면, 함수를 다음과 같이 쓸 수 있음<br><math>\beta(s)=4^{-s}\{\zeta(s,1/4)-\zeta(s,3/4)\}</math><br>
+* [[후르비츠 제타함수(Hurwitz zeta function)]]를 사용하면, 함수를 다음과 같이 쓸 수 있음:<math>\beta(s)=4^{-s}\{\zeta(s,1/4)-\zeta(s,3/4)\}</math><br>
-* [[후르비츠 제타함수(Hurwitz zeta function)]] 의 에르미트 표현<br><math>\frac{\partial }{\partial s}\zeta(s,a)|_{s=0} =\log \frac{\Gamma(a)}{\sqrt{2\pi}}</math><br>
+* [[후르비츠 제타함수(Hurwitz zeta function)]] 의 에르미트 표현:<math>\frac{\partial }{\partial s}\zeta(s,a)|_{s=0} =\log \frac{\Gamma(a)}{\sqrt{2\pi}}</math><br>
-*  미분은 다음과 주어짐<br><math>\beta'(s)=4^{-s}\{\zeta(s,1/4)-\zeta(s,3/4)\}(-\log 4)+4^{-s}\{\zeta'(s,1/4)-\zeta'(s,3/4)\}</math><br><math>\beta'(0)=\{\zeta(0,1/4)-\zeta(0,3/4)\}(-\log 4)+\{\zeta'(0,1/4)-\zeta'(0,3/4)\}=-\beta(0)\log4+\log\frac{\Gamma(1/4)}{\Gamma(3/4)}=\log\frac{\Gamma(1/4)}{2\Gamma(3/4)}</math><br>
+*  미분은 다음과 주어짐:<math>\beta'(s)=4^{-s}\{\zeta(s,1/4)-\zeta(s,3/4)\}(-\log 4)+4^{-s}\{\zeta'(s,1/4)-\zeta'(s,3/4)\}</math>:<math>\beta'(0)=\{\zeta(0,1/4)-\zeta(0,3/4)\}(-\log 4)+\{\zeta'(0,1/4)-\zeta'(0,3/4)\}=-\beta(0)\log4+\log\frac{\Gamma(1/4)}{\Gamma(3/4)}=\log\frac{\Gamma(1/4)}{2\Gamma(3/4)}</math><br>
 *  함수방정식 :<math>\Lambda(s)=(\frac{\pi}{4})^{-{(s+1)}/{2}}\Gamma(\frac{s+1}{2})\beta(s)</math>
 :<math>\Lambda'(s)=(\frac{\pi}{4})^{-(s+1)/2}(-\frac{1}{2}\log\frac{\pi}{4})\Gamma(\frac{s+1}{2})\beta(s)+\frac{1}{2}(\frac{\pi}{4})^{-{(s+1)}/{2}}\Gamma'(\frac{s+1}{2})\beta(s)+(\frac{\pi}{4})^{-{(s+1)}/{2}}\Gamma(\frac{s+1}{2})\beta'(s)</math>
-:<math>\Lambda(s)=\Lambda(1-s)</math><br><math>\Lambda'(s)=-\Lambda'(1-s)</math> 을 이용하면<math>\beta'(0)</math>과 <math>\beta'(1)</math>의 관계를 찾을 수 있다
+:<math>\Lambda(s)=\Lambda(1-s)</math>:<math>\Lambda'(s)=-\Lambda'(1-s)</math> 을 이용하면<math>\beta'(0)</math>과 <math>\beta'(1)</math>의 관계를 찾을 수 있다
 :<math>\Lambda'(0)=(\frac{\pi}{4})^{-{1}/{2}}(-\frac{1}{2}\ln\frac{\pi}{4})\Gamma(\frac{1}{2})\beta(0)+\frac{1}{2}(\frac{\pi}{4})^{-{1}/{2}}\Gamma'(\frac{1}{2})\beta(0)+(\frac{\pi}{4})^{-{1}/{2}}\Gamma(\frac{1}{2})\beta'(0)
@@ 105번째 줄: / 105번째 줄: @@
-* <math>\beta'(0)</math>과 <math>\beta'(1)</math>의 관계<br><math>-\ln\frac{2}{\sqrt{\pi}}+\ln 2+\frac{\gamma}{2}-2\beta'(0)=\ln\frac{2}{\sqrt{\pi}}-\frac{\gamma}{2}+\frac{4}{\pi}\beta'(1)</math><br><math>\beta'(1)=\frac{\pi}{4}(-2\ln\frac{2}{\sqrt{\pi}}+\ln 2+\gamma-2\beta'(0))=\frac{\pi}{4}(-2\ln\frac{2}{\sqrt{\pi}}+\ln 2+\gamma-2\ln\frac{\Gamma(1/4)}{2\Gamma(3/4)})</math><br><math>=\frac{\pi}{4}(\ln 2+\ln \pi+ \gamma+2\ln\frac{\Gamma(3/4)}{\Gamma(1/4)})</math><br>
+* <math>\beta'(0)</math>과 <math>\beta'(1)</math>의 관계:<math>-\ln\frac{2}{\sqrt{\pi}}+\ln 2+\frac{\gamma}{2}-2\beta'(0)=\ln\frac{2}{\sqrt{\pi}}-\frac{\gamma}{2}+\frac{4}{\pi}\beta'(1)</math>:<math>\beta'(1)=\frac{\pi}{4}(-2\ln\frac{2}{\sqrt{\pi}}+\ln 2+\gamma-2\beta'(0))=\frac{\pi}{4}(-2\ln\frac{2}{\sqrt{\pi}}+\ln 2+\gamma-2\ln\frac{\Gamma(1/4)}{2\Gamma(3/4)})</math>:<math>=\frac{\pi}{4}(\ln 2+\ln \pi+ \gamma+2\ln\frac{\Gamma(3/4)}{\Gamma(1/4)})</math><br>
 따라서