라플라스-벨트라미 연산자 - 편집 역사

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 [[분류:미분기하학]]
-== 메타데이터 ==
+==메타데이터==
 ===위키데이터===
 * ID :  [https://www.wikidata.org/wiki/Q1443411 Q1443411]

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	[[분류:미분기하학]]		[[분류:미분기하학]]
		+
		+	== 메타데이터 ==
		+
		+	===위키데이터===
		+	* ID : [https://www.wikidata.org/wiki/Q1443411 Q1443411]

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 * 유클리드 공간에 정의된 미분연산자
 *  더 일반적으로 리만다양체 위에서 정의할 수 있으며, 메트릭 텐서를 이용하여 쓸 수 있음 (이 경우 라플라스-벨트라미 연산자로 불리기도 함)
-** 미분형식에 대한 라플라시안 연산자로 일반화되며, 미분다양체의 [[드람 코호몰로지]] 이론에서 중요한 역할을 함
+** 미분형식에 대한 라플라시안 연산자로 일반화되며, 미분다양체의 [[드람 코호몰로지]] 이론에서 중요한 역할을 함
 * 컴팩트 리만다양체에서 정의되는 라플라시안의 고유값을 이해하는 문제는 수학적으로 중요
-−
 ==2차원 유클리드 공간==
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 ==리만다양체의 메트릭 텐서를 이용한 표현==
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 * <math>F=0</math>인 경우:<math>\Delta f=\frac{1}{\sqrt{EG}}\left( \frac{\partial }{\partial x^1}\left(\sqrt{\frac{G}{E}}\frac{\partial f}{\partial x^1}\right)+\frac{\partial }{\partial x^2}\left(\sqrt{\frac{E}{G}}\frac{\partial f}{\partial x^2}\right)\right)</math>
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 ==극좌표계의 경우==
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 * <math>E=1</math>, <math>G=0</math>, <math>F=r^2</math>:<math>\sqrt{EG}=r</math>:<math>\Delta f = {1 \over r} {\partial \over \partial r} \left( r {\partial f \over \partial r} \right) + {1 \over r^2} {\partial^2 f \over \partial \theta^2}={1 \over r}   {\partial f \over \partial r}+ {\partial^2 f \over \partial r^2}+{1 \over r^2} {\partial^2 f \over \partial \theta^2}</math>
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 ==구면 라플라시안==
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 * <math>E=r^2\sin^2\theta</math>, <math>F=0</math>, <math>G=r^2</math>:<math>\Delta f ={1 \over r^2 }({\partial^2 f \over \partial \theta^2} +\cot\theta {\partial f \over \partial \theta} + \frac{1}{ \sin^2 \theta}{\partial^2 f \over \partial \phi^2})</math>
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 ==3차원 구면좌표계의 경우==
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 * [[구면좌표계]]:<math>\Delta f = {1 \over r^2} {\partial \over \partial r} \left( r^2 {\partial f \over \partial r} \right) + {1 \over r^2 \sin \theta} {\partial \over \partial \theta} \left( \sin \theta {\partial f \over \partial \theta} \right) + {1 \over r^2 \sin^2 \theta} {\partial^2 f \over \partial \phi^2}</math>
-−
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 :<math>0=\lambda_0<\lambda_1<\lambda_2<\cdots, \lim_{j\to \infty}\lambda_j=\infty</math>
 * <math>j\to \infty</math>일 때, <math>\lambda_{j}\sim j^{2/\dim M}</math>의 근사식을 따른다
 * [[스펙트럼 제타 함수]] 항목 참조
 ==역사==
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 * [[수학사 연표]]
-−
 ==메모==
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 * http://mathoverflow.net/questions/64017/eigenvalues-of-laplacian-beltrami-operator
 * http://mathoverflow.net/questions/85481/the-first-eigenvalue-of-the-laplacian-for-complex-projective-space
-−
-−
 ==관련된 항목들==
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 * [[스펙트럼 제타 함수]]
-−
 ==매스매티카 파일 및 계산 리소스==
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-==사전 형태의 자료==
+==사전 형태의 자료==
 * [http://ko.wikipedia.org/wiki/%EB%9D%BC%ED%94%8C%EB%9D%BC%EC%8A%A4_%EC%97%B0%EC%82%B0%EC%9E%90 http://ko.wikipedia.org/wiki/라플라스_연산자]

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 * 유클리드 공간에 정의된 미분연산자
-*  더 일반적으로 리만다양체 위에서 정의할 수 있으며, 메트릭 텐서를 이용하여 쓸 수 있음 (이 경우 라플라스-벨트라미 연산자로 불리기도 함)<br>
+*  더 일반적으로 리만다양체 위에서 정의할 수 있으며, 메트릭 텐서를 이용하여 쓸 수 있음 (이 경우 라플라스-벨트라미 연산자로 불리기도 함)
 ** 미분형식에 대한 라플라시안 연산자로 일반화되며, 미분다양체의 [[드람 코호몰로지]] 이론에서 중요한 역할을 함
 * 컴팩트 리만다양체에서 정의되는 라플라시안의 고유값을 이해하는 문제는 수학적으로 중요
@@ 10번째 줄: / 10번째 줄: @@
 ==2차원 유클리드 공간==
-*  라플라시안 연산자는 다음과 같이 정의됨:<math>\Delta f = \frac{\partial^2f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}</math><br>
+*  라플라시안 연산자는 다음과 같이 정의됨:<math>\Delta f = \frac{\partial^2f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}</math>
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 * 리만다양체의 [[메트릭 텐서]]가 <math>g_{ij}</math>로 주어지는 경우
 * <math>(g^{ij})=(g_{ij})^{-1}</math>
-*  라플라시안:<math>\Delta f=\nabla_i \nabla^i f =\frac{1}{\sqrt{\det g}} \frac{\partial }{\partial x^j}\left(g^{jk}\sqrt{\det g}\frac{\partial f}{\partial x^k}\right) = g^{jk}\frac{\partial^2 f}{\partial x^j \partial x^k} + \frac{\partial g^{jk}}{\partial x^j} \frac{\partial f}{\partial x^k} + \frac12 g^{jk}g^{il}\frac{\partial g_{il}}{\partial x^j}\frac{\partial f}{\partial x^k}</math><br>
+*  라플라시안:<math>\Delta f=\nabla_i \nabla^i f =\frac{1}{\sqrt{\det g}} \frac{\partial }{\partial x^j}\left(g^{jk}\sqrt{\det g}\frac{\partial f}{\partial x^k}\right) = g^{jk}\frac{\partial^2 f}{\partial x^j \partial x^k} + \frac{\partial g^{jk}}{\partial x^j} \frac{\partial f}{\partial x^k} + \frac12 g^{jk}g^{il}\frac{\partial g_{il}}{\partial x^j}\frac{\partial f}{\partial x^k}</math>
 * 곡면의 경우 <math>E=g_{11}</math>, <math>F=g_{12}=g_{21}</math>, <math>G=g_{22}</math>
-* <math>F=0</math>인 경우:<math>\Delta f=\frac{1}{\sqrt{EG}}\left( \frac{\partial }{\partial x^1}\left(\sqrt{\frac{G}{E}}\frac{\partial f}{\partial x^1}\right)+\frac{\partial }{\partial x^2}\left(\sqrt{\frac{E}{G}}\frac{\partial f}{\partial x^2}\right)\right)</math><br>
+* <math>F=0</math>인 경우:<math>\Delta f=\frac{1}{\sqrt{EG}}\left( \frac{\partial }{\partial x^1}\left(\sqrt{\frac{G}{E}}\frac{\partial f}{\partial x^1}\right)+\frac{\partial }{\partial x^2}\left(\sqrt{\frac{E}{G}}\frac{\partial f}{\partial x^2}\right)\right)</math>
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 * [[극좌표계]]
-* <math>E=1</math>, <math>G=0</math>, <math>F=r^2</math>:<math>\sqrt{EG}=r</math>:<math>\Delta f = {1 \over r} {\partial \over \partial r} \left( r {\partial f \over \partial r} \right) + {1 \over r^2} {\partial^2 f \over \partial \theta^2}={1 \over r}   {\partial f \over \partial r}+ {\partial^2 f \over \partial r^2}+{1 \over r^2} {\partial^2 f \over \partial \theta^2}</math><br>
+* <math>E=1</math>, <math>G=0</math>, <math>F=r^2</math>:<math>\sqrt{EG}=r</math>:<math>\Delta f = {1 \over r} {\partial \over \partial r} \left( r {\partial f \over \partial r} \right) + {1 \over r^2} {\partial^2 f \over \partial \theta^2}={1 \over r}   {\partial f \over \partial r}+ {\partial^2 f \over \partial r^2}+{1 \over r^2} {\partial^2 f \over \partial \theta^2}</math>
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 ==구면 라플라시안==
-* [[구면(sphere)]]<br>
+* [[구면(sphere)]]
-* <math>E=r^2\sin^2\theta</math>, <math>F=0</math>, <math>G=r^2</math>:<math>\Delta f ={1 \over r^2 }({\partial^2 f \over \partial \theta^2} +\cot\theta {\partial f \over \partial \theta} + \frac{1}{ \sin^2 \theta}{\partial^2 f \over \partial \phi^2})</math><br>
+* <math>E=r^2\sin^2\theta</math>, <math>F=0</math>, <math>G=r^2</math>:<math>\Delta f ={1 \over r^2 }({\partial^2 f \over \partial \theta^2} +\cot\theta {\partial f \over \partial \theta} + \frac{1}{ \sin^2 \theta}{\partial^2 f \over \partial \phi^2})</math>
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 ==3차원 구면좌표계의 경우==
-* [[구면좌표계]]:<math>\Delta f = {1 \over r^2} {\partial \over \partial r} \left( r^2 {\partial f \over \partial r} \right) + {1 \over r^2 \sin \theta} {\partial \over \partial \theta} \left( \sin \theta {\partial f \over \partial \theta} \right) + {1 \over r^2 \sin^2 \theta} {\partial^2 f \over \partial \phi^2}</math><br>
+* [[구면좌표계]]:<math>\Delta f = {1 \over r^2} {\partial \over \partial r} \left( r^2 {\partial f \over \partial r} \right) + {1 \over r^2 \sin \theta} {\partial \over \partial \theta} \left( \sin \theta {\partial f \over \partial \theta} \right) + {1 \over r^2 \sin^2 \theta} {\partial^2 f \over \partial \phi^2}</math>

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 ==라플라시안의 성질==
-* 컴팩트 리만 다양체 $M$
+* 컴팩트 리만 다양체 <math>M</math>
 * elliptic
 * self-adjoint
-* $-\Delta$ 는 positive
+* <math>-\Delta</math> 는 positive
-* $-\Delta$ 의 스펙트럼은 다음과 같이 주어짐
+* <math>-\Delta</math> 의 스펙트럼은 다음과 같이 주어짐
-$$0=\lambda_0<\lambda_1<\lambda_2<\cdots, \lim_{j\to \infty}\lambda_j=\infty$$
+:<math>0=\lambda_0<\lambda_1<\lambda_2<\cdots, \lim_{j\to \infty}\lambda_j=\infty</math>
-* $j\to \infty$일 때, $\lambda_{j}\sim j^{2/\dim M}$의 근사식을 따른다
+* <math>j\to \infty</math>일 때, <math>\lambda_{j}\sim j^{2/\dim M}</math>의 근사식을 따른다
 * [[스펙트럼 제타 함수]] 항목 참조
@@ 113번째 줄: / 113번째 줄: @@
 * Sinan Ariturk, Maximal spectral surfaces of revolution converge to a catenoid, arXiv:1603.08496[math.SP], March 28 2016, http://arxiv.org/abs/1603.08496v1
 * Berestovskii, Valera, Irina Zubareva, and Victor Svirkin. “The Spectrum of the Laplace Operator on Connected Compact Simple Lie Groups of Rank 3.” arXiv:1511.03872 [math], November 12, 2015. http://arxiv.org/abs/1511.03872.
-* Nadirashvili, Nikolai, and Yannick Sire. “Isoperimetric Inequality for the Third Eigenvalue of the Laplace-Beltrami Operator on $\mathbb S^2$.” arXiv:1506.07017 [math], June 23, 2015. http://arxiv.org/abs/1506.07017.
+* Nadirashvili, Nikolai, and Yannick Sire. “Isoperimetric Inequality for the Third Eigenvalue of the Laplace-Beltrami Operator on <math>\mathbb S^2</math>.” arXiv:1506.07017 [math], June 23, 2015. http://arxiv.org/abs/1506.07017.
 * He, Yue. ‘Proof of the P’{o}lya Conjecture’. arXiv:1411.1135 [math], 4 November 2014. http://arxiv.org/abs/1411.1135.
 * Ballmann, Werner, Henrik Matthiesen, and Sugata Mondal. 2014. “Small Eigenvalues of Surfaces.” arXiv:1406.5836 [math], June. http://arxiv.org/abs/1406.5836.

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@@ 107번째 줄: / 107번째 줄: @@
 ==관련논문==
 * A. M. Stepin, I. V. Tsylin, Spectral boundary value problems for Laplace--Beltrami operator: moduli of continuity of eigenvalues under domain deformation, arXiv:1605.03614 [math.AP], May 11 2016, http://arxiv.org/abs/1605.03614
 * Philippe Charron, Bernard Helffer, Thomas Hoffmann-Ostenhof, Pleijel's theorem for Schrödinger operators with radial potentials, arXiv:1604.08372 [math.SP], April 28 2016, http://arxiv.org/abs/1604.08372

@@ 102번째 줄: / 102번째 줄: @@
 ==리뷰, 에세이, 강의노트==
 * Lorenzo Brasco, Guido De Philippis, Spectral inequalities in quantitative form, arXiv:1604.05072 [math.SP], April 18 2016, http://arxiv.org/abs/1604.05072
 * Zelditch, S. “Eigenfunctions and Nodal Sets.” arXiv:1205.2812 [math], May 12, 2012. http://arxiv.org/abs/1205.2812.