로그 사인 적분 (log sine integrals) - 편집 역사

2020년 11월 12일 (목) 14:47에 Pythagoras0님의 편집

2020-11-12T14:47:56Z

2014년 5월 29일 (목) 15:01에 Pythagoras0님의 편집

2014-05-29T15:01:49Z

Pythagoras0: /* 계산 리소스 */

2013-03-23T09:00:38Z

계산 리소스

2013년 3월 22일 (금) 16:25에 Pythagoras0님의 편집

2013-03-22T16:25:53Z

차이 보기

2013년 2월 11일 (월) 16:12에 Pythagoras0님의 편집

2013-02-11T16:12:26Z

Pythagoras0: 찾아 바꾸기 – “수학사연표” 문자열을 “수학사 연표” 문자열로

2013-01-14T22:48:42Z

찾아 바꾸기 – “수학사연표” 문자열을 “수학사 연표” 문자열로

Pythagoras0: 찾아 바꾸기 – “
$” 문자열을 “: ” 문자열로$

2013-01-12T17:31:23Z

찾아 바꾸기 – “<br><math>” 문자열을 “:<math>” 문자열로

Pythagoras0: 찾아 바꾸기 – “\int_{0}^{\frac{1}{2}}(\arcsin x)^2}\frac{dx}{x}” 문자열을 “\int_{0}^{\frac{1}{2}}(\arcsin x)^2\frac{dx}{x}” 문자열로

2012-11-05T10:07:46Z

찾아 바꾸기 – “\int_{0}^{\frac{1}{2}}(\arcsin x)^2}\frac{dx}{x}” 문자열을 “\int_{0}^{\frac{1}{2}}(\arcsin x)^2\frac{dx}{x}” 문자열로

Pythagoras0: /* 로그사인 정적분 */

2012-11-05T10:06:12Z

로그사인 정적분

Pythagoras0: /* 개요 */

2012-11-05T10:05:08Z

개요

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−	* $I(x)$ 에 대하여 다음이 성립한다	+	* <math>I(x)</math> 에 대하여 다음이 성립한다
	:<math>\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}(2 \sin \frac{1}{2}\theta)^{x}\,d\theta=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}(2 \cos \frac{1}{2}\theta)^{x}\,d\theta=\frac{\Gamma(1+x)}{\Gamma(1+\frac{1}{2}x)\Gamma(1+\frac{1}{2}x)}</math>		:<math>\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}(2 \sin \frac{1}{2}\theta)^{x}\,d\theta=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}(2 \cos \frac{1}{2}\theta)^{x}\,d\theta=\frac{\Gamma(1+x)}{\Gamma(1+\frac{1}{2}x)\Gamma(1+\frac{1}{2}x)}</math>

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 ===지수생성함수===
-(정리) '''[Lewin1958]'''
+;정리 '''[Lewin1958]'''
 :<math>I(x)=\frac{\pi\Gamma(1+x)}{(\Gamma(1+\frac{1}{2}x))^2}</math>
 :<math>\log I(x)=\log {\pi}+\sum_{k=2}^{\infty}(-1)^k (1-2^{1-k})\frac{\zeta(k)}{k}x^k</math>
@@ 28번째 줄: / 28번째 줄: @@
-(증명)
+;증명
 [[오일러 베타적분(베타함수)|오일러 베타적분]] 의 결과를 이용하자.

@@ 123번째 줄: / 123번째 줄: @@
 ==계산 리소스==
-* http://arminstraub.com/pub/log-sine-integrals
+* [http://arminstraub.com/mathematics/lstoli-a-mathematica-package-for-evaluating-log-sine-integrals LsToLi: A Mathematica package for evaluating log-sine integrals]
 * Kalmykov, M. Yu, and A. Sheplyakov. 2004. “LSJK - a C++ Library for Arbitrary-precision Numeric Evaluation of the Generalized Log-sine Functions.” arXiv:hep-ph/0411100 (November 7). doi:10.1016/j.cpc.2005.04.013. http://arxiv.org/abs/hep-ph/0411100.
 ==관련논문==

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	==블로그==		==블로그==
		+	[[분류:적분]]

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 * http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=log+sine+integral
 * http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
-* [[수학사연표 (역사)|수학사연표]]
+* [[수학사 연표]]
+*

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 *  정적분 값의 계산 문제 :<math>\operatorname{Ls}_{n}(\pi)=-\int_{0}^{\pi}\log^{n-1}(2\sin \frac{x}{2})\,dx</math><br>
-*  지수생성함수<br><math>I(x)=\int_{0}^{\pi}e^{x\log(2\sin \frac{1}{2}\theta)}d\theta =\sum_{n=0}^{\infty}\int_{0}^{\pi}\frac{x^n}{n!}\log^n(2\sin\frac{1}{2}\theta)d\theta=-\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}\operatorname{Ls}_{n+1}(\pi)</math><br>
+*  지수생성함수:<math>I(x)=\int_{0}^{\pi}e^{x\log(2\sin \frac{1}{2}\theta)}d\theta =\sum_{n=0}^{\infty}\int_{0}^{\pi}\frac{x^n}{n!}\log^n(2\sin\frac{1}{2}\theta)d\theta=-\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}\operatorname{Ls}_{n+1}(\pi)</math><br>
-*  정적분의 점화식<br><math>\operatorname{Ls}_{m+2}(\pi)=(-1)^{m}m![\pi(1-2^{-m})\zeta(m+1)-\sum_{k=2}^{m-1}(-1)^{k}\frac{1-2^{k-m}}{k!}\zeta(m-k+1)\operatorname{Ls}_{k+1}(\pi)</math><br>
+*  정적분의 점화식:<math>\operatorname{Ls}_{m+2}(\pi)=(-1)^{m}m![\pi(1-2^{-m})\zeta(m+1)-\sum_{k=2}^{m-1}(-1)^{k}\frac{1-2^{k-m}}{k!}\zeta(m-k+1)\operatorname{Ls}_{k+1}(\pi)</math><br>
 *  이 정적분은 <math>\ln 2</math>와 <math>\zeta(n), n\geq 2</math> 의 다항식으로 표현할 수 있다'''[Bowman1947]'''<br>
 *  다음 정리로부터 이러한 결과들을 이해할 수 있다<br>
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 ==메모==
-* [[중심이항계수(central binomial coefficient)]]<br><math>\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3\binom{2n}{n}}=4\int_{0}^{\frac{1}{2}}(\arcsin x)^2\frac{dx}{x}=-2\int_{0}^{\pi/3}x\log(2\sin \frac{x}{2})\,dx</math><br>
+* [[중심이항계수(central binomial coefficient)]]:<math>\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3\binom{2n}{n}}=4\int_{0}^{\frac{1}{2}}(\arcsin x)^2\frac{dx}{x}=-2\int_{0}^{\pi/3}x\log(2\sin \frac{x}{2})\,dx</math><br>
 * http://cjackal.tistory.com/10[http://cjackal.tistory.com/109 9]<br>

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 ==로그사인 정적분==
-*  정적분 값의 계산 문제<br><math>\operatorname{Ls}_{n}(\pi)=-\int_{0}^{\pi}\log^{n-1}}(2\sin \frac{x}{2})\,dx</math><br>
+*  정적분 값의 계산 문제 :<math>\operatorname{Ls}_{n}(\pi)=-\int_{0}^{\pi}\log^{n-1}(2\sin \frac{x}{2})\,dx</math><br>
 *  지수생성함수<br><math>I(x)=\int_{0}^{\pi}e^{x\log(2\sin \frac{1}{2}\theta)}d\theta =\sum_{n=0}^{\infty}\int_{0}^{\pi}\frac{x^n}{n!}\log^n(2\sin\frac{1}{2}\theta)d\theta=-\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}\operatorname{Ls}_{n+1}(\pi)</math><br>

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 ==개요==
-*  정의<br><math>\operatorname{Ls}_{a+b,a}(\theta):=-\int_{0}^{\theta}x^a\log^{b-1}}|2\sin \frac{x}{2}|\,dx</math><br><math>\operatorname{Ls}_{n}(\theta):=\operatorname{Ls}_{n,0}(\theta)=-\int_{0}^{\theta}\log^{n-1}}(2\sin \frac{x}{2})\,dx</math><br>
+*  정의 :<math>\operatorname{Ls}_{a+b,a}(\theta):=-\int_{0}^{\theta}x^a\log^{b-1}|2\sin \frac{x}{2}|\,dx</math> :<math>\operatorname{Ls}_{n}(\theta):=\operatorname{Ls}_{n,0}(\theta)=-\int_{0}^{\theta}\log^{n-1}(2\sin \frac{x}{2})\,dx</math><br>
-* [[로바체프스키 함수|클라우센 함수]]의 일반화로 볼 수 있다<br><math>\operatorname{Cl}_2(\theta)=-\int_0^{\theta} \ln |2\sin \frac{t}{2}| \,dt=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin (n\theta)}{n^2}</math><br>
+* [[로바체프스키 함수|클라우센 함수]]의 일반화로 볼 수 있다 :<math>\operatorname{Cl}_2(\theta)=-\int_0^{\theta} \ln |2\sin \frac{t}{2}| \,dt=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin (n\theta)}{n^2}</math><br>
-<math>\int_{0}^{1-e^{i\theta}}\log^{n-1}z\frac{dz}{1-z}=-i\int_{0}^{\theta}(\frac{i}{2}(x-\pi)+\log|2\sin \frac{x}{2}|)^{n-1}\,dx </math><math>=-\int_{0}^{\theta}x^a\log^{b-1}}|2\sin \frac{x}{2}|\,dx</math>
+<math>\int_{0}^{1-e^{i\theta}}\log^{n-1}z\frac{dz}{1-z}=-i\int_{0}^{\theta}(\frac{i}{2}(x-\pi)+\log|2\sin \frac{x}{2}|)^{n-1}\,dx </math><math>=-\int_{0}^{\theta}x^a\log^{b-1}|2\sin \frac{x}{2}|\,dx</math>