로저스-라마누잔 연분수 - 편집 역사

2020년 12월 28일 (월) 10:18에 Pythagoras0님의 편집

2020-12-28T10:18:24Z

2020년 11월 16일 (월) 15:24에 Pythagoras0님의 편집

2020-11-16T15:24:13Z

2020년 11월 12일 (목) 14:31에 Pythagoras0님의 편집

2020-11-12T14:31:27Z

Pythagoras0: section '관련논문' updated

2016-03-25T13:33:38Z

section '관련논문' updated

Pythagoras0: /* 매스매티카 파일 및 계산 리소스 */

2015-05-03T11:48:54Z

매스매티카 파일 및 계산 리소스

2015년 1월 14일 (수) 21:50에 Pythagoras0님의 편집

2015-01-14T21:50:30Z

2013년 7월 14일 (일) 14:20에 Pythagoras0님의 편집

2013-07-14T14:20:37Z

2013년 7월 13일 (토) 22:44에 Pythagoras0님의 편집

2013-07-13T22:44:30Z

2013년 7월 13일 (토) 22:27에 Pythagoras0님의 편집

2013-07-13T22:27:27Z

차이 보기

2013년 3월 11일 (월) 22:10에 Pythagoras0님의 편집

2013-03-11T22:10:17Z

@@ 4번째 줄: / 4번째 줄: @@
 :<math>\cfrac{1}{1 + \cfrac{e^{-2\pi}}{1 + \cfrac{e^{-4\pi}}{1+\dots}}} = \left({\sqrt{5+\sqrt{5}\over 2}-{\sqrt{5}+1\over 2}}\right)e^{2\pi/5} = e^{2\pi/5}\left({\sqrt{\varphi\sqrt{5}}-\varphi}\right) = 0.9981360\dots</math>
 여기서 <math>\varphi</math> 는 [[황금비]]
-* 위의 식은 모듈라군 <math>\Gamma(5)</math>에 대한 모듈라 함수 <math>r(\tau)</math>의 special value 로 이해할 수 있음
+* 위의 식은 모듈라군 <math>\Gamma(5)</math>에 대한 모듈라 함수 <math>r(\tau)</math>의 special value 로 이해할 수 있음
 * [[5차방정식과 정이십면체]]와 깊은 관계를 가짐
@@ 19번째 줄: / 19번째 줄: @@
 :<math>R(z)=R(zq)+zqR(zq^2)</math>
-−
 ===증명===
@@ 32번째 줄: / 32번째 줄: @@
 & =1+\sum_{n\geq 0}\frac{z^nq^{n^2}}{(1-q)_q^n} = R(z)
 \end{aligned}
-</math>  ■
+</math>  ■
-−
 ===응용===
-* 이 정리로부터 <math>R(q^n)=R(q^{n+1})+q^{n+1}R(q^{n+2})</math>
+* 이 정리로부터 <math>R(q^n)=R(q^{n+1})+q^{n+1}R(q^{n+2})</math>
 * 즉
 :<math>\frac{R(q^{n+1})}{R(q^n)}=\cfrac{1}{1+q^{n+1}\cfrac{R(q^{n+2})}{R(q^{n+1})}}</math>를 얻는다.
@@ 45번째 줄: / 45번째 줄: @@
 :<math>\frac{H(q)}{G(q)} = \cfrac{1}{1+\cfrac{q}{1+\cfrac{q^2}{1+\cfrac{q^3}{1+\cdots}}}}</math>
-−
 ==로저스-라마누잔 모듈라 함수==
 * 다음은 모듈라 함수이다
 :<math>r(\tau)=q^{\frac{1}{5}} \frac{H(q)}{G(q)} = \cfrac{q^{\frac{1}{5}}}{1+\cfrac{q}{1+\cfrac{q^2}{1+\cfrac{q^3}{1+\cdots}}}}</math>
-여기서 <math>q=e^{2\pi i\tau}</math>.
+여기서 <math>q=e^{2\pi i\tau}</math>.
-* <math>\tau=i</math> 인 경우에 값을 계산할 수 있다면, 위의 값을 얻을 수 있다.
+* <math>\tau=i</math> 인 경우에 값을 계산할 수 있다면, 위의 값을 얻을 수 있다.
 :<math>r(i)=\cfrac{e^{\frac{-2\pi}{5}}}{1+\cfrac{e^{-2\pi}}{1+\cfrac{e^{-4\pi}}{1+\cfrac{e^{-6\pi}}{1+\cdots}}}}</math>
-* [[모듈라 군(modular group)]] <math>\Gamma(5)</math>에 의해 불변이다:<math>r(\tau)=q^{\frac{1}{5}} \frac{H(q)}{G(q)} = \cfrac{q^{\frac{1}{5}}}{1+\cfrac{q}{1+\cfrac{q^2}{1+\cfrac{q^3}{1+\cdots}}}}</math>
+* [[모듈라 군(modular group)]] <math>\Gamma(5)</math>에 의해 불변이다:<math>r(\tau)=q^{\frac{1}{5}} \frac{H(q)}{G(q)} = \cfrac{q^{\frac{1}{5}}}{1+\cfrac{q}{1+\cfrac{q^2}{1+\cfrac{q^3}{1+\cdots}}}}</math>
-−
 (정리)
@@ 63번째 줄: / 63번째 줄: @@
 <math>r(-\frac{1}{\tau})=Tr(\tau)</math>
-여기서 <math>S=\begin{pmatrix} \zeta_{10} & 0 \\ 0 & \zeta_{10} \end{pmatrix} </math>, <math>T={\begin{pmatrix} -1 & g \\ g & 1 \end{pmatrix}}</math>,  <math>g=\frac{\sqrt{5}-1}{2}</math>
+여기서 <math>S=\begin{pmatrix} \zeta_{10} & 0 \\ 0 & \zeta_{10} \end{pmatrix} </math>, <math>T={\begin{pmatrix} -1 & g \\ g & 1 \end{pmatrix}}</math>,  <math>g=\frac{\sqrt{5}-1}{2}</math>
-−
 ==푸리에급수==
@@ 73번째 줄: / 73번째 줄: @@
 :<math>r(\tau) = q^{1/5}(1 - q + q^2 - q^4 + q^5 - q^6 + q^7 - q^9 + 2q^{10} - 3q^{11}+\cdots</math>
-−
-−
 ==데데킨트 <math>\eta</math> 함수와의 관계==
@@ 91번째 줄: / 91번째 줄: @@
 :<math>r(i)={\sqrt{5+\sqrt{5}\over 2}-{\sqrt{5}+1\over 2}}=0.28407904384\cdots</math>
-−
 ==special values==
@@ 102번째 줄: / 102번째 줄: @@
 ==j-invariant 와의 관계==
 (정리)
 :<math>(r(\tau)^{20}-228r(\tau)^{15}+494r(\tau)^{10}+228r(\tau)^{5}+1)^3+j(\tau)r(\tau)^{5}(r(\tau)^{10}+11r(\tau)^{5}-1)^5=0</math>
@@ 108번째 줄: / 108번째 줄: @@
 :<math>j(\tau)=-\frac{(r(\tau)^{20}-228r(\tau)^{15}+494r(\tau)^{10}+228r(\tau)^{5}+1)^3}{r(\tau)^{5}(r(\tau)^{10}+11r(\tau)^{5}-1)^5}</math>
-여기서, <math>j(\tau)</math> 는 [[타원 모듈라 j-함수 (elliptic modular function, j-invariant)|j-invariant]]
+여기서, <math>j(\tau)</math> 는 [[타원 모듈라 j-함수 (elliptic modular function, j-invariant)|j-invariant]]
 * [[정이십면체와 모듈라 연분수]] 항목 참조
-−
-−
 ==메모==
-* [http://books.google.com/books?id=ECnHLtiCiNsC&pg=PA9&lpg=PA9&dq=defeated+me+completely;+I+had+never+seen+anything&source=bl&ots=hID1ovbSq-&sig=ssoIWC-w9QB2iUE-SF8tbyiCxz8&hl=en&ei=UAqJStijIoSmsgOGouDpAg&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=7#v=onepage&q=&f=false 라마누잔의 식을 본 하디의 평가]
+* [http://books.google.com/books?id=ECnHLtiCiNsC&pg=PA9&lpg=PA9&dq=defeated+me+completely;+I+had+never+seen+anything&source=bl&ots=hID1ovbSq-&sig=ssoIWC-w9QB2iUE-SF8tbyiCxz8&hl=en&ei=UAqJStijIoSmsgOGouDpAg&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=7#v=onepage&q=&f=false 라마누잔의 식을 본 하디의 평가]
-−
-−
 ==관련된 항목들==
@@ 128번째 줄: / 128번째 줄: @@
 * [[5차방정식과 정이십면체]]
-−
-−
 ==매스매티카 파일 및 계산 리소스==
@@ 138번째 줄: / 138번째 줄: @@
-−
 ==관련논문==
 * Gaurav Bhatnagar, Michael D. Hirschhorn, A formula for the convergents of a continued fraction of Ramanujan, http://arxiv.org/abs/1603.07664v1
@@ 144번째 줄: / 144번째 줄: @@
-−
 [[분류:q-급수]]
 [[분류:연분수]]

← 이전 판		2020년 11월 16일 (월) 15:24 판
111번째 줄:		111번째 줄:

	* [[정이십면체와 모듈라 연분수]] 항목 참조		* [[정이십면체와 모듈라 연분수]] 항목 참조
−
−
−
−
−
−	~~==역사==~~
−
−
−
−	* http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
−	* [[수학사 연표]]

@@ 10번째 줄: / 10번째 줄: @@
 ==연분수의 유도==
-* $R(z)$를 다음과 같이 정의하자
+* <math>R(z)</math>를 다음과 같이 정의하자
 :<math>R(z)=\sum_{n\geq 0}\frac{z^nq^{n^2}}{(1-q)\cdots(1-q^n)}=\sum_{n\geq 0}\frac{z^nq^{n^2}}{(1-q)_q^n}</math>
 * <math>H(q)=R(q), G(q)=R(1)</math>
@@ 53번째 줄: / 53번째 줄: @@
 * <math>\tau=i</math> 인 경우에 값을 계산할 수 있다면, 위의 값을 얻을 수 있다.
 :<math>r(i)=\cfrac{e^{\frac{-2\pi}{5}}}{1+\cfrac{e^{-2\pi}}{1+\cfrac{e^{-4\pi}}{1+\cfrac{e^{-6\pi}}{1+\cdots}}}}</math>
-* [[모듈라 군(modular group)]] <math>\Gamma(5)</math>에 의해 불변이다:<math>r(\tau)=q^{\frac{1}{5}} \frac{H(q)}{G(q)} = \cfrac{q^{\frac{1}{5}}}{1+\cfrac{q}{1+\cfrac{q^2}{1+\cfrac{q^3}{1+\cdots}}}}</math><br>
+* [[모듈라 군(modular group)]] <math>\Gamma(5)</math>에 의해 불변이다:<math>r(\tau)=q^{\frac{1}{5}} \frac{H(q)}{G(q)} = \cfrac{q^{\frac{1}{5}}}{1+\cfrac{q}{1+\cfrac{q^2}{1+\cfrac{q^3}{1+\cdots}}}}</math>
@@ 71번째 줄: / 71번째 줄: @@
 * [[로저스-라마누잔 항등식]]으로부터 푸리에급수를 유도할 수 있다
 :<math>r(\tau)=q^{\frac{1}{5}} \frac{H(q)}{G(q)} =q^{\frac{1}{5}}\frac {(q;q^5)_\infty (q^4; q^5)_\infty}{(q^2;q^5)_\infty (q^3; q^5)_\infty} </math>
-:<math>r(\tau) = q^{1/5}(1 - q + q^2 - q^4 + q^5 - q^6 + q^7 - q^9 + 2q^{10} - 3q^{11}+\cdots</math><br>
+:<math>r(\tau) = q^{1/5}(1 - q + q^2 - q^4 + q^5 - q^6 + q^7 - q^9 + 2q^{10} - 3q^{11}+\cdots</math>
@@ 96번째 줄: / 96번째 줄: @@
 * 위에서 다음을 얻었다
-:<math>r(i)={\sqrt{5+\sqrt{5}\over 2}-{\sqrt{5}+1\over 2}}</math>:<math>r(0)=  \sqrt{\frac{5-\sqrt{5}}{5+\sqrt{5}}}=\varphi-1=0.618\cdots</math><br>
+:<math>r(i)={\sqrt{5+\sqrt{5}\over 2}-{\sqrt{5}+1\over 2}}</math>:<math>r(0)=  \sqrt{\frac{5-\sqrt{5}}{5+\sqrt{5}}}=\varphi-1=0.618\cdots</math>
 * 또다른 값과 기하학적인 의미에 대해서는 [[정이십면체와 모듈라 연분수]] 항목 참조

← 이전 판		2016년 3월 25일 (금) 13:33 판
151번째 줄:		151번째 줄:

	==관련논문==		==관련논문==
		+	* Gaurav Bhatnagar, Michael D. Hirschhorn, A formula for the convergents of a continued fraction of Ramanujan, http://arxiv.org/abs/1603.07664v1
	* Ciolan, Alexandru, and Robert Axel Neiss. “Convergence Properties of the Classical and Generalized Rogers-Ramanujan Continued Fraction.” arXiv:1504.06482 [math], April 24, 2015. http://arxiv.org/abs/1504.06482.		* Ciolan, Alexandru, and Robert Axel Neiss. “Convergence Properties of the Classical and Generalized Rogers-Ramanujan Continued Fraction.” arXiv:1504.06482 [math], April 24, 2015. http://arxiv.org/abs/1504.06482.

← 이전 판		2015년 5월 3일 (일) 11:48 판
150번째 줄:		150번째 줄:


		+	==관련논문==
		+	* Ciolan, Alexandru, and Robert Axel Neiss. “Convergence Properties of the Classical and Generalized Rogers-Ramanujan Continued Fraction.” arXiv:1504.06482 [math], April 24, 2015. http://arxiv.org/abs/1504.06482.
		+


	[[분류:q-급수]]		[[분류:q-급수]]
	[[분류:연분수]]		[[분류:연분수]]

← 이전 판		2015년 1월 14일 (수) 21:50 판
153번째 줄:		153번째 줄:

	[[분류:q-급수]]		[[분류:q-급수]]
		+	[[분류:연분수]]

@@ 89번째 줄: / 89번째 줄: @@
 * <math>\tau=\frac{i}{5}</math> 인 경우, 다음을 얻고 방정식을 풀 수 있음.
 :<math>(\frac{1}{r(i)}-r(i)-1)^2=5</math>
-:<math>r(i)={\sqrt{5+\sqrt{5}\over 2}-{\sqrt{5}+1\over 2}}</math>
+:<math>r(i)={\sqrt{5+\sqrt{5}\over 2}-{\sqrt{5}+1\over 2}}=0.28407904384\cdots</math>

← 이전 판	2013년 3월 11일 (월) 22:10 판
233번째 줄:	233번째 줄:


	+	[[분류:q-급수]]