맥윌리엄스 항등식 (MacWilliams Identity) - 편집 역사

2021년 2월 17일 (수) 10:24에 Pythagoras0님의 편집

2021-02-17T10:24:15Z

Pythagoras0: /* 메타데이터 */ 새 문단

2020-12-28T14:01:34Z

메타데이터: 새 문단

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2020-11-13T15:01:31Z

Pythagoras0: section '관련논문' added

2016-05-06T04:27:58Z

section '관련논문' added

Pythagoras0: 새 문서: ==개요== * 유한체 $\mathbb{F}_2$위에 정의되는 선형코드 $C\subset \mathbb{F}_2^{n}$와 그 쌍대 $C^{\perp}$의 weight enumerator 사이에 성립하는 관계식 * wei...

2014-01-05T21:55:53Z

새 문서: ==개요== * 유한체 $\mathbb{F}_2$위에 정의되는 선형코드 $C\subset \mathbb{F}_2^{n}$와 그 쌍대 $C^{\perp}$의 weight enumerator 사이에 성립하는 관계식 * wei...

새 문서

==개요==
* 유한체 $\mathbb{F}_2$위에 정의되는 선형코드 $C\subset \mathbb{F}_2^{n}$와 그 쌍대 $C^{\perp}$의 weight enumerator 사이에 성립하는 관계식
* weight enumerator를 다음과 같이 정의하자
$$W_C(X)=\sum_{\mathbf{a}\in C} X^{w(\mathbf{a})}$$
;정리
$$
W_{C^{\perp}}(X)=\frac{(1+X)^n}{|C|}W_{C}\left(\frac{1-X}{1+X}\right)
$$

==동차다항식 버전==
* weight enumerator를 다음과 같은 동차다항식으로 쓰기도 한다
$$
W(C;X,Y)=\sum_{\mathbf{a}\in C} X^{w(\mathbf{a})}Y^{n-w(\mathbf{a})}
$$
;정리
$$
W(C^{\perp};X,Y)=\frac{1}{|C|}W(C;Y-X,Y+X)
$$

==예==
===해밍코드===
* [8,4,4] [[해밍코드(Hamming codes)]] $C$의 weight enumerator는 다음과 같다
$$
W_C(x)=x^8+14 x^4+1
$$
* 다음을 만족한다
$$
W_{C^{\perp}}(x)=W_{C}(x)=\frac{(1+x)^8}{16}W_C(\frac{1-x}{1+x})
$$

===콜레이 코드===
* [24,12,8] [[골레이 코드 (Golay code)]] $C$의 경우
$$
W_C(x)=x^{24}+759 x^{16}+2576 x^{12}+759 x^8+1
$$
* 다음이 성립한다
$$
W_{C^{\perp}}(x)=W_{C}(x)=\frac{(1+x)^{24}}{4096}W_C(\frac{1-x}{1+x})
$$

==매스매티카 파일 및 계산 리소스==
* https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxMC1PaF82cU52d1k/edit

==사전 형태의 자료==
* http://en.wikipedia.org/wiki/Enumerator_polynomial

==리뷰, 에세이, 강의노트==
* Robin Chapman. [http://empslocal.ex.ac.uk/people/staff/rjchapma/courses/ct07/MacW.pdf The MacWilliams identity]

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 * Azniv Kasparian, Ivan Marinov, Mac Williams identities for linear codes as polarized Riemann-Roch conditions, arXiv:1604.08538 [cs.IT], April 28 2016, http://arxiv.org/abs/1604.08538
-== 메타데이터 ==
+==메타데이터==
 ===위키데이터===
 * ID :  [https://www.wikidata.org/wiki/Q4454980 Q4454980]

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	* Azniv Kasparian, Ivan Marinov, Mac Williams identities for linear codes as polarized Riemann-Roch conditions, arXiv:1604.08538 [cs.IT], April 28 2016, http://arxiv.org/abs/1604.08538		* Azniv Kasparian, Ivan Marinov, Mac Williams identities for linear codes as polarized Riemann-Roch conditions, arXiv:1604.08538 [cs.IT], April 28 2016, http://arxiv.org/abs/1604.08538
		+
		+	== 메타데이터 ==
		+
		+	===위키데이터===
		+	* ID : [https://www.wikidata.org/wiki/Q4454980 Q4454980]

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	==리뷰, 에세이, 강의노트==		==리뷰, 에세이, 강의노트==
	* Robin Chapman. [http://empslocal.ex.ac.uk/people/staff/rjchapma/courses/ct07/MacW.pdf The MacWilliams identity]		* Robin Chapman. [http://empslocal.ex.ac.uk/people/staff/rjchapma/courses/ct07/MacW.pdf The MacWilliams identity]
		+
		+	== 관련논문 ==
		+
		+	* Azniv Kasparian, Ivan Marinov, Mac Williams identities for linear codes as polarized Riemann-Roch conditions, arXiv:1604.08538 [cs.IT], April 28 2016, http://arxiv.org/abs/1604.08538

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 ==개요==
-* 유한체 $\mathbb{F}_2$위에 정의되는 선형코드 $C\subset \mathbb{F}_2^{n}$와 그 쌍대 $C^{\perp}$의 weight enumerator 사이에 성립하는 관계식
+* 유한체 <math>\mathbb{F}_2</math>위에 정의되는 선형코드 <math>C\subset \mathbb{F}_2^{n}</math>와 그 쌍대 <math>C^{\perp}</math>의 weight enumerator 사이에 성립하는 관계식
 * weight enumerator를 다음과 같이 정의하자
-$$W_C(X)=\sum_{\mathbf{a}\in C} X^{w(\mathbf{a})}$$
+:<math>W_C(X)=\sum_{\mathbf{a}\in C} X^{w(\mathbf{a})}</math>
 ;정리
-$$
+:<math>
 W_{C^{\perp}}(X)=\frac{(1+X)^n}{|C|}W_{C}\left(\frac{1-X}{1+X}\right)
-$$
+</math>
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 ==동차다항식 버전==
 * weight enumerator를 다음과 같은 동차다항식으로 쓰기도 한다
-$$
+:<math>
 W(C;X,Y)=\sum_{\mathbf{a}\in C} X^{w(\mathbf{a})}Y^{n-w(\mathbf{a})}
-$$
+</math>
 ;정리
-$$
+:<math>
 W(C^{\perp};X,Y)=\frac{1}{|C|}W(C;Y-X,Y+X)
-$$
+</math>
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 ==예==
 ===해밍코드===
-* [8,4,4] [[해밍코드(Hamming codes)]] $C$의 weight enumerator는 다음과 같다
+* [8,4,4] [[해밍코드(Hamming codes)]] <math>C</math>의 weight enumerator는 다음과 같다
-$$
+:<math>
 W_C(x)=x^8+14 x^4+1
-$$
+</math>
 * 다음을 만족한다
-$$
+:<math>
 W_{C^{\perp}}(x)=W_{C}(x)=\frac{(1+x)^8}{16}W_C(\frac{1-x}{1+x})
-$$
+</math>
 ===콜레이 코드===
-* [24,12,8] [[골레이 코드 (Golay code)]] $C$의 경우
+* [24,12,8] [[골레이 코드 (Golay code)]] <math>C</math>의 경우
-$$
+:<math>
 W_C(x)=x^{24}+759 x^{16}+2576 x^{12}+759 x^8+1
-$$
+</math>
 * 다음이 성립한다
-$$
+:<math>
 W_{C^{\perp}}(x)=W_{C}(x)=\frac{(1+x)^{24}}{4096}W_C(\frac{1-x}{1+x})
-$$
+</math>