모든 자연수의 곱과 리만제타함수 - 편집 역사

2020년 11월 14일 (토) 07:16에 Pythagoras0님의 편집

2020-11-14T07:16:12Z

Pythagoras0: /* 증명 */

2014-11-26T13:03:53Z

증명

2014년 11월 25일 (화) 11:51에 Pythagoras0님의 편집

2014-11-25T11:51:39Z

2013년 4월 5일 (금) 12:12에 Pythagoras0님의 편집

2013-04-05T12:12:32Z

2013년 2월 1일 (금) 22:23에 Pythagoras0님의 편집

2013-02-01T22:23:03Z

Pythagoras0: /* 관련된 항목들 */

2013-02-01T22:22:38Z

Pythagoras0: 찾아 바꾸기 – “수학사연표” 문자열을 “수학사 연표” 문자열로

2013-01-14T23:35:13Z

찾아 바꾸기 – “수학사연표” 문자열을 “수학사 연표” 문자열로

Pythagoras0: 찾아 바꾸기 – “
$” 문자열을 “: ” 문자열로$

2013-01-12T17:40:55Z

찾아 바꾸기 – “<br><math>” 문자열을 “:<math>” 문자열로

Pythagoras0: 찾아 바꾸기 – “

” 문자열을 “==” 문자열로

2012-11-01T21:25:09Z

찾아 바꾸기 – “<h5 (.*)">” 문자열을 “==” 문자열로

Pythagoras0: 찾아 바꾸기 – “

” 문자열을 “==” 문자열로

2012-11-01T20:48:59Z

찾아 바꾸기 – “</h5>” 문자열을 “==” 문자열로

@@ 30번째 줄: / 30번째 줄: @@
 여기서 <math>\psi(x) =\frac{d}{dx} \ln{\Gamma(x)}= \frac{\Gamma'(x)}{\Gamma(x)}</math>는 [[다이감마 함수(digamma function)]].
-함수 $\psi$에 대하여 다음이 성립한다 :
+함수 <math>\psi</math>에 대하여 다음이 성립한다 :
 :<math>\psi(1) = -\gamma,\, \psi\left(\frac{1}{2}\right) = -2\ln{2} - \gamma</math>

@@ 20번째 줄: / 20번째 줄: @@
 ==증명==
-:<math>\zeta(s)=\frac{\pi^{-(1-s)/2}\ \Gamma\left(\frac{1-s}{2}\right)\ \zeta(1-s)}{\pi^{-s/2}\ \Gamma\left(\frac{s}{2}\right)}=\frac{\pi^{s-1/2}\ \Gamma\left(\frac{1-s}{2}\right)\ \zeta(1-s)}{\Gamma\left(\frac{s}{2}\right)}</math>
+함수 $\psi$에 대하여 다음이 성립한다 :
-<math>f(s)=s\zeta(1-s)</math> 라 두자.
+얻어진 결과들을 \ref{sum}에 적용하여 다음을 얻는다.
 :<math>\frac{\zeta'(0)}{\zeta(0)}=\log\pi-\frac{1}{2}(-\gamma-2\ln2-\gamma)-\gamma=\log 2\pi</math>
+이제 <math>\zeta(0)=-1/2</math>로부터 <math>\zeta'(0)=-\log \sqrt{2\pi}</math>를 얻는다.
 ==역사==

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 * 모든 자연수의 곱은 물론 발산
 * 리만제타함수의 0에서의 미분값을 묻는 문제로 이해할 수 있음
-* <math>\zeta'(0)=-\log{\sqrt{2\pi}}</math> (아래에서 증명함)
+* <math>\zeta'(0)=-\log{\sqrt{2\pi}}</math> (아래에서 증명함)
-* <math>\zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s}</math> , <math>\zeta'(s)=-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\log n}{n^s}</math>
+* <math>\zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s}</math> , <math>\zeta'(s)=-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\log n}{n^s}</math>
-*  여기서 (형식적으로):<math>\zeta'(0)=-\sum_{n=1}^{\infty}\log n</math>:<math>\prod_{1}^{\infty} n =\sqrt{2\pi}</math><br>
+*  여기서 (형식적으로):<math>\zeta'(0)=-\sum_{n=1}^{\infty}\log n</math>:<math>\prod_{1}^{\infty} n =\sqrt{2\pi}</math>
-* 즉 모든 자연수의 곱은 <math>\sqrt{2\pi}</math> (!?)
+* 즉 모든 자연수의 곱은 <math>\sqrt{2\pi}</math> (!?)
-−
 ==증명에 앞서 알아야 할 사실들==
 * [[감마함수]]
-* [[리만제타함수]]의 함수방정식:<math>\zeta(s)=\frac{\pi^{-(1-s)/2}\ \Gamma\left(\frac{1-s}{2}\right)\ \zeta(1-s)}{\pi^{-s/2}\ \Gamma\left(\frac{s}{2}\right)}=\frac{\pi^{s-1/2}\ \Gamma\left(\frac{1-s}{2}\right)\ \zeta(1-s)}{\Gamma\left(\frac{s}{2}\right)}</math><br>
+* [[리만제타함수]]의 함수방정식
-−
 ==증명==
-<math>\zeta(s)=\frac{\pi^{-(1-s)/2}\ \Gamma\left(\frac{1-s}{2}\right)\ \zeta(1-s)}{\pi^{-s/2}\ \Gamma\left(\frac{s}{2}\right)}=\frac{\pi^{s-1/2}\ \Gamma\left(\frac{1-s}{2}\right)\ \zeta(1-s)}{\Gamma\left(\frac{s}{2}\right)}</math>
+:<math>\zeta(s)=\frac{\pi^{-(1-s)/2}\ \Gamma\left(\frac{1-s}{2}\right)\ \zeta(1-s)}{\pi^{-s/2}\ \Gamma\left(\frac{s}{2}\right)}=\frac{\pi^{s-1/2}\ \Gamma\left(\frac{1-s}{2}\right)\ \zeta(1-s)}{\Gamma\left(\frac{s}{2}\right)}</math>
-<math>f(s)=s\zeta(1-s)</math> 라 두자.
+<math>f(s)=s\zeta(1-s)</math> 라 두자.
-−
-<math>\zeta(s)=\frac{\pi^{s-1/2}\ \Gamma(\frac{1-s}{2})f(s)}{2\Gamma(\frac{s}{2}+1)}</math> 의 <math>s=0</math> 에서의 로그미분값을 계산하면, 다음을 얻는다.
+<math>\zeta(s)=\frac{\pi^{s-1/2}\ \Gamma(\frac{1-s}{2})f(s)}{2\Gamma(\frac{s}{2}+1)}</math> 의 <math>s=0</math> 에서의 로그미분값을 계산하면, 다음을 얻는다
-<math>\frac{\zeta'(0)}{\zeta(0)}=\log\pi-\frac{1}{2}\frac{\Gamma'(\frac{1}{2})}{\Gamma(\frac{1}{2})}+\frac{f'(0)}{f(0)}-\frac{1}{2}\frac{\Gamma'(1)}{\Gamma(1)}=\log\pi-\frac{1}{2}(\psi(1)+\psi(\frac{1}{2}))+ \frac{f'(0)}{f(0)}  </math>
+<math>\frac{f'(0)}{f(0)}=-\gamma</math>, <math>\psi(1) = -\gamma\,\!</math>, <math>\psi\left(\frac{1}{2}\right) = -2\ln{2} - \gamma</math>[[감마함수]]
-여기서 <math>\psi(x) =\frac{d}{dx} \ln{\Gamma(x)}= \frac{\Gamma'(x)}{\Gamma(x)}</math>
+이에 대해서는 [[감마함수]] 의 [[다이감마 함수(digamma function)|Digamma]] 함수 부분 참조.
+한편, <math>\zeta(s)=\frac{1}{s-1}+\gamma+O((s-1))</math> 를 이용하면, <math>s=0</math> 주변에서 <math>f(s)=-1+\gamma s+O(s^2)</math> .
 따라서 다음값을 얻는다.
-<math>\frac{\zeta'(0)}{\zeta(0)}=\log\pi-\frac{1}{2}(-\gamma-2\ln2-\gamma)-\gamma=\log 2\pi</math>
+:<math>\frac{\zeta'(0)}{\zeta(0)}=\log\pi-\frac{1}{2}(-\gamma-2\ln2-\gamma)-\gamma=\log 2\pi</math>
-<math>\zeta(0)=-\frac{1}{2}</math> 이므로, <math>\zeta'(0)=-\log \sqrt{2\pi}</math>
+:<math>\zeta(0)=-\frac{1}{2}</math> 이므로, <math>\zeta'(0)=-\log \sqrt{2\pi}</math>
-* [[리만제타함수]]<br>
 ==역사==
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 * [[수학사 연표]]
-−
 ==관련된 항목들==
 * [[스펙트럼 제타 함수]]
-* [[파이가 아니라 2파이다?]]<br>
+* [[파이가 아니라 2파이다?]]
 * [[L-함수의 미분]]
 [[분류:리만 제타 함수]]

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	* [[파이가 아니라 2파이다?]]<br>		* [[파이가 아니라 2파이다?]]<br>
	* [[L-함수의 미분]]		* [[L-함수의 미분]]
		+	[[분류:리만 제타 함수]]

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−	~~==이 항목의 스프링노트 원문주소==~~
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−	* [[모든 자연수의 곱과 리만제타함수]]
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	==개요==		==개요==

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	==역사==		==역사==

−	* [[~~수학사연표 (역사)\|수학사연표~~]]	+	* [[수학사 연표]]

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-<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">이 항목의 스프링노트 원문주소==
+==이 항목의 스프링노트 원문주소==
 * [[모든 자연수의 곱과 리만제타함수]]
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-<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">상위 주제==
+==상위 주제==
 * [[리만제타함수]]<br>
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-<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">역사==
+==역사==
 * [[수학사연표 (역사)|수학사연표]]
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-<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">관련된 항목들==
+==관련된 항목들==
 * [[파이가 아니라 2파이다?]]<br>
 * [[L-함수의 미분]]

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