바일 차원 공식(Weyl dimension formula) - 편집 역사

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2020-12-28T10:23:51Z

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2020-11-16T12:01:39Z

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2013-07-05T22:50:47Z

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2013-07-05T12:24:27Z

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2013년 3월 9일 (토) 18:06에 Pythagoras0님의 편집

2013-03-09T18:06:44Z

Pythagoras0: 찾아 바꾸기 – “수학사연표” 문자열을 “수학사 연표” 문자열로

2013-01-14T23:41:52Z

찾아 바꾸기 – “수학사연표” 문자열을 “수학사 연표” 문자열로

Pythagoras0: 찾아 바꾸기 – “==관련논문== * http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query= * http://www.ams.org/mathscinet * http://dx.doi.org/” 문자열을 “” 문자열로

2012-11-02T15:41:50Z

찾아 바꾸기 – “==관련논문== * http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query= * http://www.ams.org/mathscinet * http://dx.doi.org/” 문자열을 “” 문자열로

Pythagoras0: 찾아 바꾸기 – “==관련도서== * 도서내검색
http://books.google.com/books?q= http://book.daum.net/search/contentSearch.do?query=” 문자열을 “” 문자열로

2012-11-02T15:28:24Z

찾아 바꾸기 – “==관련도서== * 도서내검색<br> ** http://books.google.com/books?q= ** http://book.daum.net/search/contentSearch.do?query=” 문자열을 “” 문자열로

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-−
 ==예 <math>A_2</math>의 fundamental representations==
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 * <math>V_{\omega_2}</math> 의 차원은 다음과 같이 얻을 수 있다:<math>\dim(V_{\omega_2}) = \frac{1\cdot 2\cdot 3}{1\cdot 1\cdot 2}=3</math>
-−
 ==증명==
 * <math>A_{\mu}=\sum_{w\in W}  (-1)^{\ell(w)} e^{w \mu}\in \mathbb{C}[P]</math>로 두자
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 * <math>k\to \infty</math>일 때의 극한으로부터, 바일 차원 공식을 얻는다
 :<math>\dim(V_\lambda) = \frac{\prod_{\alpha>0}(\lambda+\rho |\alpha)}{\prod_{\alpha>0}(\rho |\alpha)}</math>
-−
 ==역사==
-−
 * http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
 * [[수학사 연표]]
-−
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 ==관련된 항목들==
 * [[바일 지표 공식 (Weyl character formula)]]
-−
-−
 ==매스매티카 파일 및 계산 리소스==
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-−
 [[분류:리군과 리대수]]

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 * [[바일 지표 공식 (Weyl character formula)]] 로부터 유도됨
-*  highest weigh이 <math>\lambda</math>로 주어지는 단순 리대수의 기약표현은 다음과 같은 차원을 갖는다:<math>\dim(V_\lambda) = \prod_{\alpha>0}\frac{(\lambda+\rho|\alpha)}{(\rho|\alpha)}</math> 여기서 <math>(\cdot | \cdot)</math> 는 <math>\mathfrak{h}_{\mathbb{R}}^{*}</math>에 정의되는 Killing form, <math>\rho</math> 는 바일 벡터, <math>\alpha>0</math>는 positive root 를 뜻함<br>
+*  highest weigh이 <math>\lambda</math>로 주어지는 단순 리대수의 기약표현은 다음과 같은 차원을 갖는다:<math>\dim(V_\lambda) = \prod_{\alpha>0}\frac{(\lambda+\rho|\alpha)}{(\rho|\alpha)}</math> 여기서 <math>(\cdot | \cdot)</math> 는 <math>\mathfrak{h}_{\mathbb{R}}^{*}</math>에 정의되는 Killing form, <math>\rho</math> 는 바일 벡터, <math>\alpha>0</math>는 positive root 를 뜻함
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 ==증명==
-* $A_{\mu}=\sum_{w\in W}  (-1)^{\ell(w)} e^{w \mu}\in \mathbb{C}[P]$로 두자
+* <math>A_{\mu}=\sum_{w\in W}  (-1)^{\ell(w)} e^{w \mu}\in \mathbb{C}[P]</math>로 두자
-* $\mu\in \mathfrak{h}^{*}$ 에 대하여, $A_{\rho}(\mu)=\prod_{\alpha>0}(2i)\sin \pi(\mu|\alpha)$이 성립한다. 이는 바일 denominator 항등식에서 알 수 있다
+* <math>\mu\in \mathfrak{h}^{*}</math> 에 대하여, <math>A_{\rho}(\mu)=\prod_{\alpha>0}(2i)\sin \pi(\mu|\alpha)</math>이 성립한다. 이는 바일 denominator 항등식에서 알 수 있다
-$$
+:<math>
 {\sum_{w\in W} (-1)^{\ell(w)}w(e^{\rho}) = e^{\rho}\prod_{\alpha>0}(1-e^{-\alpha})}=\prod_{\alpha>0}(e^{\alpha/2}-e^{-\alpha/2})
-$$
+</math>
-* 임의의 $\mu\in P$에 대하여, 다음이 성립한다
+* 임의의 <math>\mu\in P</math>에 대하여, 다음이 성립한다
 \begin{equation}\label{6:Wdenom2}
 A_{\mu}\left(\frac{\rho}{h^{\vee}+k}\right)=A_{\rho}\left(\frac{\mu}{h^{\vee}+k}\right)= \prod_{\alpha>0}(2i)\sin \frac{\pi(\mu|\alpha)}{h^{\vee}+k}
 \end{equation}
-* (\ref{6:Wdenom2})로부터 $\lambda\in P^{+}$에 대하여, 다음이 성립함을 알 수 있다
+* (\ref{6:Wdenom2})로부터 <math>\lambda\in P^{+}</math>에 대하여, 다음이 성립함을 알 수 있다
-$$A_{\lambda}\left(\frac{\rho}{h^{\vee}+k}\right)= \prod_{\alpha>0}(2i)\sin \frac{\pi(\lambda|\alpha)}{h^{\vee}+k}$$
+:<math>A_{\lambda}\left(\frac{\rho}{h^{\vee}+k}\right)= \prod_{\alpha>0}(2i)\sin \frac{\pi(\lambda|\alpha)}{h^{\vee}+k}</math>
-$$A_{\lambda+\rho}\left(\frac{\rho}{h^{\vee}+k}\right)= \prod_{\alpha>0}(2i)\sin \frac{\pi(\lambda+\rho|\alpha)}{h^{\vee}+k}.$$
+:<math>A_{\lambda+\rho}\left(\frac{\rho}{h^{\vee}+k}\right)= \prod_{\alpha>0}(2i)\sin \frac{\pi(\lambda+\rho|\alpha)}{h^{\vee}+k}.</math>
 * [[바일 지표 공식 (Weyl character formula)]]로부터 다음을 얻는다
-$$\chi_{\lambda}\left(\frac{\rho}{h^{\vee}+k}\right)=\frac{A_{\lambda+\rho}\left(\frac{\rho}{h^{\vee}+k}\right)}{A_{\rho}\left(\frac{\rho}{h^{\vee}+k}\right)}= \frac{\prod_{\alpha>0}\sin \frac{\pi(\lambda+\rho|\alpha)}{h^{\vee}+k}}{ \prod_{\alpha>0}\sin \frac{\pi (\rho|\alpha)}{h^{\vee}+k}}.$$
+:<math>\chi_{\lambda}\left(\frac{\rho}{h^{\vee}+k}\right)=\frac{A_{\lambda+\rho}\left(\frac{\rho}{h^{\vee}+k}\right)}{A_{\rho}\left(\frac{\rho}{h^{\vee}+k}\right)}= \frac{\prod_{\alpha>0}\sin \frac{\pi(\lambda+\rho|\alpha)}{h^{\vee}+k}}{ \prod_{\alpha>0}\sin \frac{\pi (\rho|\alpha)}{h^{\vee}+k}}.</math>
-* $k\to \infty$일 때의 극한으로부터, 바일 차원 공식을 얻는다
+* <math>k\to \infty</math>일 때의 극한으로부터, 바일 차원 공식을 얻는다
-$$\dim(V_\lambda) = \frac{\prod_{\alpha>0}(\lambda+\rho |\alpha)}{\prod_{\alpha>0}(\rho |\alpha)}$$
+:<math>\dim(V_\lambda) = \frac{\prod_{\alpha>0}(\lambda+\rho |\alpha)}{\prod_{\alpha>0}(\rho |\alpha)}</math>

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-==예-<math>A_2</math>의 fundamental representations==
+==예 <math>A_2</math>의 fundamental representations==
-* <math>A_2</math>의 root system을 <math>\mathbb{R}^3</math>안에서 다음과 같이 얻을 수 있다<br>
+* <math>A_2</math>의 root system을 <math>\mathbb{R}^3</math>안에서 다음과 같이 얻을 수 있다
 ** <math>\alpha_1=(1,-1,0)</math>
 ** <math>\alpha_2=(0,1,-1)</math>

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 * 임의의 $\mu\in P$에 대하여, 다음이 성립한다
 \begin{equation}\label{6:Wdenom2}
-A_{\mu}\left(\frac{\rho}{h+k}\right)=A_{\rho}\left(\frac{\mu}{h+k}\right)= \prod_{\alpha>0}(2i)\sin \frac{\pi(\mu|\alpha)}{h+k}
+A_{\mu}\left(\frac{\rho}{h^{\vee}+k}\right)=A_{\rho}\left(\frac{\mu}{h^{\vee}+k}\right)= \prod_{\alpha>0}(2i)\sin \frac{\pi(\mu|\alpha)}{h^{\vee}+k}
 \end{equation}
 * (\ref{6:Wdenom2})로부터 $\lambda\in P^{+}$에 대하여, 다음이 성립함을 알 수 있다
-$$A_{\lambda}\left(\frac{\rho}{h+k}\right)= \prod_{\alpha>0}(2i)\sin \frac{\pi(\lambda|\alpha)}{h+k}$$
+$$A_{\lambda}\left(\frac{\rho}{h^{\vee}+k}\right)= \prod_{\alpha>0}(2i)\sin \frac{\pi(\lambda|\alpha)}{h^{\vee}+k}$$
-$$A_{\lambda+\rho}\left(\frac{\rho}{h+k}\right)= \prod_{\alpha>0}(2i)\sin \frac{\pi(\lambda+\rho|\alpha)}{h+k}.$$
+$$A_{\lambda+\rho}\left(\frac{\rho}{h^{\vee}+k}\right)= \prod_{\alpha>0}(2i)\sin \frac{\pi(\lambda+\rho|\alpha)}{h^{\vee}+k}.$$
 * [[바일 지표 공식 (Weyl character formula)]]로부터 다음을 얻는다
-$$\chi_{\lambda}\left(\frac{\rho}{h+k}\right)=\frac{A_{\lambda+\rho}\left(\frac{\rho}{h+k}\right)}{A_{\rho}\left(\frac{\rho}{h+k}\right)}= \frac{\prod_{\alpha>0}\sin \frac{\pi(\lambda+\rho|\alpha)}{h+k}}{ \prod_{\alpha>0}\sin \frac{\pi (\rho|\alpha)}{h+k}}.$$
+$$\chi_{\lambda}\left(\frac{\rho}{h^{\vee}+k}\right)=\frac{A_{\lambda+\rho}\left(\frac{\rho}{h^{\vee}+k}\right)}{A_{\rho}\left(\frac{\rho}{h^{\vee}+k}\right)}= \frac{\prod_{\alpha>0}\sin \frac{\pi(\lambda+\rho|\alpha)}{h^{\vee}+k}}{ \prod_{\alpha>0}\sin \frac{\pi (\rho|\alpha)}{h^{\vee}+k}}.$$
 * $k\to \infty$일 때의 극한으로부터, 바일 차원 공식을 얻는다
 $$\dim(V_\lambda) = \frac{\prod_{\alpha>0}(\lambda+\rho |\alpha)}{\prod_{\alpha>0}(\rho |\alpha)}$$
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 ==관련된 항목들==

@@ 4번째 줄: / 4번째 줄: @@
 *  highest weigh이 <math>\lambda</math>로 주어지는 단순 리대수의 기약표현은 다음과 같은 차원을 갖는다:<math>\dim(V_\lambda) = \prod_{\alpha>0}\frac{(\lambda+\rho|\alpha)}{(\rho|\alpha)}</math> 여기서 <math>(\cdot | \cdot)</math> 는 <math>\mathfrak{h}_{\mathbb{R}}^{*}</math>에 정의되는 Killing form, <math>\rho</math> 는 바일 벡터, <math>\alpha>0</math>는 positive root 를 뜻함<br>
-==<math>A_2</math>의 fundamental representations==
+==예-<math>A_2</math>의 fundamental representations==
 * <math>A_2</math>의 root system을 <math>\mathbb{R}^3</math>안에서 다음과 같이 얻을 수 있다<br>
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+==증명==

@@ 1번째 줄: / 1번째 줄: @@
 ==개요==
-* [[Weyl character formula]] 로부터 유도됨
+* [[바일 지표 공식 (Weyl character formula)]] 로부터 유도됨
 *  highest weigh이 <math>\lambda</math>로 주어지는 단순 리대수의 기약표현은 다음과 같은 차원을 갖는다:<math>\dim(V_\lambda) = \prod_{\alpha>0}\frac{(\lambda+\rho|\alpha)}{(\rho|\alpha)}</math> 여기서 <math>(\cdot | \cdot)</math> 는 <math>\mathfrak{h}_{\mathbb{R}}^{*}</math>에 정의되는 Killing form, <math>\rho</math> 는 바일 벡터, <math>\alpha>0</math>는 positive root 를 뜻함<br>
@@ 40번째 줄: / 40번째 줄: @@
 *  quantum dimension:<math>\chi_{\lambda}\left(\frac{\rho}{h+k}\right)=\frac{A_{\lambda+\rho}\left(\frac{\rho}{h+k}\right)}{A_{\rho}\left(\frac{\rho}{h+k}\right)}= \frac{\prod_{\alpha>0}\sin \frac{\pi(\lambda+\rho|\alpha)}{h+k}}{ \prod_{\alpha>0}\sin \frac{\pi (\rho|\alpha)}{h+k}}</math>
 ==관련된 항목들==
+* [[바일 지표 공식 (Weyl character formula)]]
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 * https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxWHQzSFRSQlBEMTQ/edit
 [[분류:리군과 리대수]]

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	+	[[분류:리군과 리대수]]

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	* http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=		* http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
−	* [[~~수학사연표 (역사)\|수학사연표~~]]	+	* [[수학사 연표]]

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−	~~==관련논문==~~

−	* http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
−	* http://www.ams.org/mathscinet
−	* http://dx.doi.org/

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−
−	~~==관련도서==~~
−
−	* 도서내검색<br>
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