베버(Weber) 모듈라 함수 - 편집 역사

Pythagoras0: /* j-불변량과의 관계 */

2014-05-22T01:01:40Z

j-불변량과의 관계

2013년 7월 14일 (일) 19:18에 Pythagoras0님의 편집

2013-07-14T19:18:23Z

2013년 7월 14일 (일) 19:14에 Pythagoras0님의 편집

2013-07-14T19:14:28Z

2013년 7월 14일 (일) 19:10에 Pythagoras0님의 편집

2013-07-14T19:10:49Z

2013년 4월 10일 (수) 19:48에 Pythagoras0님의 편집

2013-04-10T19:48:23Z

차이 보기

2013년 3월 11일 (월) 22:28에 Pythagoras0님의 편집

2013-03-11T22:28:45Z

Pythagoras0: /* q-초기하급수와의 관계 */

2013-03-11T22:28:04Z

q-초기하급수와의 관계

Pythagoras0: 찾아 바꾸기 – “수학사연표” 문자열을 “수학사 연표” 문자열로

2013-01-14T23:42:37Z

찾아 바꾸기 – “수학사연표” 문자열을 “수학사 연표” 문자열로

Pythagoras0: 찾아 바꾸기 – “
$” 문자열을 “: ” 문자열로$

2013-01-12T17:44:15Z

찾아 바꾸기 – “<br><math>” 문자열을 “:<math>” 문자열로

2012년 11월 3일 (토) 00:03에 Pythagoras0님의 편집

2012-11-03T00:03:07Z

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 * 다음의 관계가 성립한다
 :<math>\gamma_2(\tau)=\frac{\mathfrak{f}(\tau)^{24}-16}{\mathfrak{f}(\tau)^8}=\sqrt[3]{j(\tau)}</math>
-:<math>\gamma_3(\tau)= \frac{(\mathfrak{f}(z)^{24} + 8) (\mathfrak{f}_ 1(z)^8 - \mathfrak{f}_ 2(z)^8)}{\mathfrak{f}(z)^8}=\sqrt{j(\tau)-1728}</math>
+:<math>\gamma_3(\tau)= \frac{(\mathfrak{f}(\tau)^{24} + 8) (\mathfrak{f}_ 1(\tau)^8 - \mathfrak{f}_ 2(\tau)^8)}{\mathfrak{f}(\tau)^8}=\sqrt{j(\tau)-1728}</math>
 ==special values==

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 :<math>\gamma_3(\tau)= \frac{(\mathfrak{f}(z)^{24} + 8) (\mathfrak{f}_ 1(z)^8 - \mathfrak{f}_ 2(z)^8)}{\mathfrak{f}(z)^8}=\sqrt{j(\tau)-1728}</math>
 ==special values==
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 *  위의 결과로부터 다음을 얻을 수 있다
 :<math>f(\tau)=q^{-1/48}\prod_{n=1}^{\infty} (1+q^{n-1/2})=q^{-1/48}\sum_{n\geq 0}\frac{q^{n^2/2}}{(1-q^1)(1-q^2)\cdots(1-q^{n})}</math>
-:<math>\mathfrak{f}_2(\tau)=\sqrt{2}\frac{\eta(2\tau)}{\eta(\tau)}=\sqrt{2}q^{1/24} \prod_{n=1}^{\infty} (1+q^{n})=\sqrt{2}q^{1/24}\sum_{n\geq 0}\frac{q^{n(n+1)/2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)}</math><br>
+:<math>\mathfrak{f}_2(\tau)=\sqrt{2}\frac{\eta(2\tau)}{\eta(\tau)}=\sqrt{2}q^{1/24} \prod_{n=1}^{\infty} (1+q^{n})=\sqrt{2}q^{1/24}\sum_{n\geq 0}\frac{q^{n(n+1)/2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)}</math>
 ==역사==
 * [[수학사 연표]]
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 ==관련논문==
+* '''[Duke2005]'''W. Duke, [http://www.ams.org/bull/2005-42-02/S0273-0979-05-01047-5/home.html#References Continued fractions and modular functions] , Bull. Amer. Math. Soc. 42 (2005), 137-162
 * [http://jtnb.cedram.org/item?id=JTNB_2002__14_1_325_0 Weber's class invariants revisited]
 ** Reinhard Schertz, Journal de théorie des nombres de Bordeaux, 14 no. 1 (2002), p. 325-343

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 :<math>\prod_{n=1}^{\infty} (1+q^{n})=\sum_{n\geq 0}\frac{q^{n (n-1)/2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)}q^n=\sum_{n\geq 0}\frac{q^{n (n+1)/2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)}</math>
 *  위의 결과로부터 다음을 얻을 수 있다
-:<math>\mathfrak{f}(2\tau)=q^{-1/24}\prod_{n=1}^{\infty} (1+q^{2n-1})=q^{-1/24}\sum_{n\geq 0}\frac{q^{n^2}}{(1-q^2)(1-q^4)\cdots(1-q^{2n})}</math>
+:<math>f(\tau)=q^{-1/48}\prod_{n=1}^{\infty} (1+q^{n-1/2})=q^{-1/48}\sum_{n\geq 0}\frac{q^{n^2/2}}{(1-q^1)(1-q^2)\cdots(1-q^{n})}</math>
-:<math>\mathfrak{f}_ 2(\tau)=\sqrt{2}\frac{\eta(2\tau)}{\eta(\tau)}=\sqrt{2}q^{1/24} \prod_{n=1}^{\infty} (1+q^{n})=\sqrt{2}q^{1/24}\sum_{n\geq 0}\frac{q^{n (n+1)/2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)}</math>
+:<math>\mathfrak{f}_2(\tau)=\sqrt{2}\frac{\eta(2\tau)}{\eta(\tau)}=\sqrt{2}q^{1/24} \prod_{n=1}^{\infty} (1+q^{n})=\sqrt{2}q^{1/24}\sum_{n\geq 0}\frac{q^{n(n+1)/2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)}</math><br>
 ==역사==

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 :<math>\mathfrak{f}_ 1(\tau)=\frac{\eta(\frac{\tau}{2})}{\eta(\tau)}=q^{-1/48} \prod_{n=1}^{\infty} (1-q^{n-\frac{1}{2}})</math>
 :<math>\mathfrak{f}_ 2(\tau)=\sqrt{2}\frac{\eta(2\tau)}{\eta(\tau)}=\sqrt{2}q^{1/24} \prod_{n=1}^{\infty} (1+q^{n})</math>
+여기서  <math>\eta(\tau) = q^{1/24} \prod_{n=1}^{\infty} (1-q^{n})</math> 는 [[데데킨트 에타함수]]
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 :<math>\gamma_2(\tau)=\frac{\mathfrak{f}(\tau)^{24}-16}{\mathfrak{f}(\tau)^8}=\sqrt[3]{j(\tau)}</math>
 :<math>\gamma_3(\tau)= \frac{(\mathfrak{f}(z)^{24} + 8) (\mathfrak{f}_ 1(z)^8 - \mathfrak{f}_ 2(z)^8)}{\mathfrak{f}(z)^8}=\sqrt{j(\tau)-1728}</math>
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 * <math>\mathfrak{f}_ 2(i)^8=2</math>
 * <math>\mathfrak{f}_ 1(2i)^8=8</math>

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 ==개요==
-*  베버의 class invariant 라는 이름으로 잘 알려져 있으며, 베버는 Schläfli 함수로 불렀음<br>
+* 베버의 class invariant 라는 이름으로 잘 알려져 있으며, 베버는 Schläfli 함수로 불렀음
-*  class field theory에서 중요한 역할<br>
+* class field theory에서 중요한 역할
+* q-초기하급수의 형태로 표현됨

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 ==q-초기하급수와의 관계==
-* [[Q-초기하급수(q-hypergeometric series)와 양자미적분학(q-calculus)|q-초기하급수(q-hypergeometric series)]] 의 공식:<math>\prod_{n=0}^{\infty}(1+zq^n)=\sum_{n\geq 0}\frac{q^{n (n-1)/2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)} z^n</math>:<math>z=q^{1/2}</math> 인 경우:<math>\prod_{n=1}^{\infty} (1+q^{n-\frac{1}{2}})=\sum_{n\geq 0}\frac{q^{n (n-1)/2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)} (q^{1/2})^n=\sum_{n\geq 0}\frac{q^{n^2/2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)} </math>:<math>\prod_{n=1}^{\infty} (1+q^{2n-1})=\sum_{n\geq 0}\frac{q^{n^2}}{(1-q^2)(1-q^4)\cdots(1-q^{2n})} </math>:<math>z=q</math> 인 경우:<math>\prod_{n=1}^{\infty} (1+q^{n})=\sum_{n\geq 0}\frac{q^{n (n-1)/2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)}q^n=\sum_{n\geq 0}\frac{q^{n (n+1)/2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)}</math><br>
+* [[Q-초기하급수(q-hypergeometric series)와 양자미적분학(q-calculus)|q-초기하급수(q-hypergeometric series)]] 의 공식:<math>\prod_{n=0}^{\infty}(1+zq^n)=\sum_{n\geq 0}\frac{q^{n (n-1)/2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)} z^n</math>
-*  위의 결과로부터 다음을 얻을 수 있다:<math>\mathfrak{f}(2\tau)=q^{-1/24}\prod_{n=1}^{\infty} (1+q^{2n-1})=q^{-1/24}\sum_{n\geq 0}\frac{q^{n^2}}{(1-q^2)(1-q^4)\cdots(1-q^{2n})}</math>:<math>\mathfrak{f}_ 2(\tau)=\sqrt{2}\frac{\eta(2\tau)}{\eta(\tau)}=\sqrt{2}q^{1/24} \prod_{n=1}^{\infty} (1+q^{n})=\sqrt{2}q^{1/24}\sum_{n\geq 0}\frac{q^{n (n+1)/2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)}</math><br>
+* <math>z=q^{1/2}</math> 인 경우
 :<math>\prod_{n=1}^{\infty} (1+q^{n-\frac{1}{2}})=\sum_{n\geq 0}\frac{q^{n (n-1)/2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)} (q^{1/2})^n=\sum_{n\geq 0}\frac{q^{n^2/2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)} </math>
 :<math>\prod_{n=1}^{\infty} (1+q^{2n-1})=\sum_{n\geq 0}\frac{q^{n^2}}{(1-q^2)(1-q^4)\cdots(1-q^{2n})} </math>
+* <math>z=q</math> 인 경우
 :<math>\prod_{n=1}^{\infty} (1+q^{n})=\sum_{n\geq 0}\frac{q^{n (n-1)/2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)}q^n=\sum_{n\geq 0}\frac{q^{n (n+1)/2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)}</math><br>
 ==역사==

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	==역사==		==역사==

−	* [[~~수학사연표 (역사)\|수학사연표~~]]	+	* [[수학사 연표]]

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 ==q-초기하급수와의 관계==
-* [[q-초기하급수(q-hypergeometric series) (통합됨)|q-초기하급수(q-hypergeometric series)]] 의 공식<br><math>\prod_{n=0}^{\infty}(1+zq^n)=\sum_{n\geq 0}\frac{q^{n (n-1)/2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)} z^n</math><br><math>z=q^{1/2}</math> 인 경우<br><math>\prod_{n=1}^{\infty} (1+q^{n-\frac{1}{2}})=\sum_{n\geq 0}\frac{q^{n (n-1)/2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)} (q^{1/2})^n=\sum_{n\geq 0}\frac{q^{n^2/2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)} </math><br><math>\prod_{n=1}^{\infty} (1+q^{2n-1})=\sum_{n\geq 0}\frac{q^{n^2}}{(1-q^2)(1-q^4)\cdots(1-q^{2n})} </math><br><math>z=q</math> 인 경우<br><math>\prod_{n=1}^{\infty} (1+q^{n})=\sum_{n\geq 0}\frac{q^{n (n-1)/2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)}q^n=\sum_{n\geq 0}\frac{q^{n (n+1)/2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)}</math><br>
+* [[Q-초기하급수(q-hypergeometric series)와 양자미적분학(q-calculus)|q-초기하급수(q-hypergeometric series)]] 의 공식<br><math>\prod_{n=0}^{\infty}(1+zq^n)=\sum_{n\geq 0}\frac{q^{n (n-1)/2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)} z^n</math><br><math>z=q^{1/2}</math> 인 경우<br><math>\prod_{n=1}^{\infty} (1+q^{n-\frac{1}{2}})=\sum_{n\geq 0}\frac{q^{n (n-1)/2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)} (q^{1/2})^n=\sum_{n\geq 0}\frac{q^{n^2/2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)} </math><br><math>\prod_{n=1}^{\infty} (1+q^{2n-1})=\sum_{n\geq 0}\frac{q^{n^2}}{(1-q^2)(1-q^4)\cdots(1-q^{2n})} </math><br><math>z=q</math> 인 경우<br><math>\prod_{n=1}^{\infty} (1+q^{n})=\sum_{n\geq 0}\frac{q^{n (n-1)/2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)}q^n=\sum_{n\geq 0}\frac{q^{n (n+1)/2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)}</math><br>
 *  위의 결과로부터 다음을 얻을 수 있다<br><math>\mathfrak{f}(2\tau)=q^{-1/24}\prod_{n=1}^{\infty} (1+q^{2n-1})=q^{-1/24}\sum_{n\geq 0}\frac{q^{n^2}}{(1-q^2)(1-q^4)\cdots(1-q^{2n})}</math><br><math>\mathfrak{f}_ 2(\tau)=\sqrt{2}\frac{\eta(2\tau)}{\eta(\tau)}=\sqrt{2}q^{1/24} \prod_{n=1}^{\infty} (1+q^{n})=\sqrt{2}q^{1/24}\sum_{n\geq 0}\frac{q^{n (n+1)/2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)}</math><br>
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 * [[데데킨트 에타함수]]<br>
 * [[로저스-라마누잔 항등식|로저스-라마누잔 연분수와 항등식]]<br>
-* [[q-초기하급수(q-hypergeometric series) (통합됨)|q-초기하급수(q-hypergeometric series)]]<br>
+* [[Q-초기하급수(q-hypergeometric series)와 양자미적분학(q-calculus)]]
 * [[자코비 세타함수]]<br>
 * [[타원 모듈라 j-함수 (elliptic modular function, j-invariant)|타원 모듈라 j-함수 (j-invariant)]]<br>