벡터의 외적(cross product) - 편집 역사

2021년 2월 17일 (수) 12:45에 Pythagoras0님의 편집

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Pythagoras0: /* 메타데이터 */ 새 문단

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메타데이터: 새 문단

2020년 11월 13일 (금) 10:17에 Pythagoras0님의 편집

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Pythagoras0: /* 리대수 구조 */

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리대수 구조

2014년 8월 30일 (토) 11:47에 Pythagoras0님의 편집

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2014년 1월 24일 (금) 04:30에 Pythagoras0님의 편집

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2014년 1월 24일 (금) 04:27에 Pythagoras0님의 편집

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 [[분류:구면기하학]]
-== 메타데이터 ==
+==메타데이터==
 ===위키데이터===
 * ID :  [https://www.wikidata.org/wiki/Q178192 Q178192]

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	[[분류:미적분학]]		[[분류:미적분학]]
	[[분류:구면기하학]]		[[분류:구면기하학]]
		+
		+	== 메타데이터 ==
		+
		+	===위키데이터===
		+	* ID : [https://www.wikidata.org/wiki/Q178192 Q178192]

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 ==정의==
-* $\mathbb{R}^3$의 단위벡터 <math>\mathbf{i}=(1,0,0), \mathbf{j}=(0,1,0), \mathbf{k}=(0,0,1)</math>
+* <math>\mathbb{R}^3</math>의 단위벡터 <math>\mathbf{i}=(1,0,0), \mathbf{j}=(0,1,0), \mathbf{k}=(0,0,1)</math>
-* $\mathbb{R}^3$의 두 벡터 <math>\mathbf a = (a_1, a_2, a_3)</math>과 <math>\mathbf b = (b_1, b_2, b_3)</math>에 대하여, 외적 $\mathbf{a}\times\mathbf{b}\in \mathbb{R}^3$는 다음과 같이 정의됨
+* <math>\mathbb{R}^3</math>의 두 벡터 <math>\mathbf a = (a_1, a_2, a_3)</math>과 <math>\mathbf b = (b_1, b_2, b_3)</math>에 대하여, 외적 <math>\mathbf{a}\times\mathbf{b}\in \mathbb{R}^3</math>는 다음과 같이 정의됨
 :<math>
 \begin{aligned}
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 \end{aligned}
 </math>
-여기서 $\begin{vmatrix}\cdot \end{vmatrix}$는 [[행렬식]]
+여기서 <math>\begin{vmatrix}\cdot \end{vmatrix}</math>는 [[행렬식]]
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 * 다음이 성립한다
 :<math>(a+x_1i+x_2j+x_3k)(b+y_1i+y_2j+y_3k)=(a,\mathbf{x)}\cdot(b,\mathbf{y)}=(ab-\mathbf{x}\cdot\mathbf{y},a\mathbf{y}+b\mathbf{x}+\mathbf{x}\times\mathbf{y})</math>
-여기서 좌변은 두 사원수의 곱, $\cdot\,$은 [[벡터의 내적]],<math>\times\,</math>는 3차원 벡터의 외적
+여기서 좌변은 두 사원수의 곱, <math>\cdot\,</math>은 [[벡터의 내적]],<math>\times\,</math>는 3차원 벡터의 외적
 * [[해밀턴의 사원수(quarternions)]] 항목 참조
 ==외적의 일반화==
-* 3차원에서 정의되는 외적을 일반적인 $\mathbb{R}^n$으로 일반화하는 것은 간단하지 않다
+* 3차원에서 정의되는 외적을 일반적인 <math>\mathbb{R}^n</math>으로 일반화하는 것은 간단하지 않다
 * 하나의 일반화는 다음에 의해 주어진다
 ;정리
-$n$차원 유클리드 벡터공간 <math>\mathbb{R}^{n}</math> 에 정의된 이항연산이 아래의 세 조건을 만족한다면, <math>n=1,3,7</math> 이 성립한다.
+<math>n</math>차원 유클리드 벡터공간 <math>\mathbb{R}^{n}</math> 에 정의된 이항연산이 아래의 세 조건을 만족한다면, <math>n=1,3,7</math> 이 성립한다.
 *  겹선형성(bilinearity)
 * <math>\mathbf{a}\cdot(\mathbf{a}\times \mathbf{b}) = \mathbf{b}\cdot(\mathbf{a}\times \mathbf{b})=0</math>
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 '''[Massey1983]''', '''[Walsh1967]''' 참조
-<math>\mathbb{R}^{n}</math> 위에 정의된 외적의 공리를 만족시키는  이항연산 $\times$가 존재한다고 하자.
+<math>\mathbb{R}^{n}</math> 위에 정의된 외적의 공리를 만족시키는  이항연산 <math>\times</math>가 존재한다고 하자.
 그러면 <math>\mathbb{R}^{n+1}=\mathbb{R}\oplus\mathbb{R}^{n}=\{(a,\mathbf{x)}|a\in\mathbb{R},\mathbf{x}\in\mathbb{R}^{n}\}</math> 위에 다음과 같은 이항연산을 정의할 수 있다.
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 ==Levi-Civita 텐서==
-* $1\leq i,j,k \leq 3$에 대하여 $\varepsilon_{ijk}$를 다음과 같이 정의하자
+* <math>1\leq i,j,k \leq 3</math>에 대하여 <math>\varepsilon_{ijk}</math>를 다음과 같이 정의하자
 :<math>\varepsilon_{ijk} = \varepsilon^{ijk} =\begin{cases}+1 & \text{if } (i,j,k) \text{ is } (1,2,3), (3,1,2) \text{ or } (2,3,1), \\-1 & \text{if } (i,j,k) \text{ is } (1,3,2), (3,2,1) \text{ or } (2,1,3), \\\;\;\,0 & \text{if }i=j \text{ or } j=k \text{ or } k=i\end{cases} </math>
 *  두 벡터 <math>\mathbf a = (a_1, a_2, a_3)</math>과 <math>\mathbf b = (b_1, b_2, b_3)</math>에 대하여 <math>\mathbf{a}\times\mathbf{b}=\mathbf{c}=(c_1,c_2,c_3)</math>라 두면,:<math>c_i= \sum_{j=1}^3 \sum_{k=1}^3 \varepsilon_{ijk} a_j b_k</math>

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 ==리대수 구조==
 * [[파울리 행렬]] 의 commutator <math>\left[\sigma _i,\sigma _j\right]=2i \epsilon _{i j k}\sigma _k</math> 를 이용하면, 다음을 얻는다:<math>\left[\frac{\sigma _i}{2i},\frac{\sigma _j}{2i}\right]=\epsilon _{i j k}\frac{\sigma _k}{2i}</math>
 ==메모==

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 ==메모==
 * http://www.physicsforums.com/showthread.php?t=66085
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 * http://en.wikipedia.org/wiki/Triple_product/wiki/Cross_product
 * http://en.wikipedia.org/wiki/Seven-dimensional_cross_product

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 :<math>
 \begin{aligned}
-\mathbf{a}\times\mathbf{b}:&=\det \begin{bmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{bmatrix} \\
+\mathbf{a}\times\mathbf{b}:&=\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix} \\
 {}&=(a_2b_3-a_3b_2,a_3b_1-a_1b_3,a_1b_2-a_2b_1)
 \end{aligned}
 </math>
+여기서 $\begin{vmatrix}\cdot \end{vmatrix}$는 [[행렬식]]
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 ==관련된 항목들==
 * [[벡터의 내적]]
 * [[해밀턴의 사원수(quarternions)]]
 * [[파울리 행렬]]

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 ==개요==
-* 삼차원 유클리드 벡터공간에 정의된 이항연산으로 삼차원 공간기하학의 기본개념
+* 삼차원 유클리드 벡터공간에 정의된 이항연산으로 [[공간벡터]]에 대한 기본개념
 * 두 벡터 <math>\mathbf{a}, \mathbf{b}</math>의 외적 <math>\mathbf{a}\times\mathbf{b}</math>는 <math>\mathbf{a}, \mathbf{b}</math>에 각각 수직이며, 크기가 <math>|\mathbf{a}| |\mathbf{b}|\sin\theta</math>인 벡터가 된다
 * 벡터의 크기는 두 벡터가 만드는 평행사변형의 넓이와 같게 됨

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	==관련도서==		==관련도서==
	[[분류:미적분학]]		[[분류:미적분학]]
		+	[[분류:구면기하학]]