아페리(Apéry) 점화식 - 편집 역사

2020년 11월 12일 (목) 15:22에 Pythagoras0님의 편집

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Pythagoras0: /* 관련논문 */

2015-08-04T04:14:15Z

Pythagoras0: /* 관련논문 */

2015-03-20T07:32:01Z

Pythagoras0: /* 증명의 아이디어 */

2015-01-28T14:35:28Z

증명의 아이디어

Pythagoras0: /* 에세이 */

2015-01-25T09:45:23Z

에세이

Pythagoras0: /* 증명의 아이디어 */

2015-01-24T11:49:12Z

증명의 아이디어

Pythagoras0: /* $\zeta(2)$ */

2015-01-24T11:48:43Z

$\zeta(2)$

2015년 1월 24일 (토) 11:17에 Pythagoras0님의 편집

2015-01-24T11:17:59Z

2014년 5월 20일 (화) 01:09에 Pythagoras0님의 편집

2014-05-20T01:09:29Z

@@ 120번째 줄: / 120번째 줄: @@
 ==관련논문==
 * Malik, Amita, and Armin Straub. “Divisibility Properties of Sporadic Ap’ery-like Numbers.” arXiv:1508.00297 [math], August 2, 2015. http://arxiv.org/abs/1508.00297.
 * Moeller, Martin, and Don Zagier. ‘Modular Embeddings of Teichmueller Curves’. arXiv:1503.05690 [math], 19 March 2015. http://arxiv.org/abs/1503.05690.

@@ 120번째 줄: / 120번째 줄: @@
 ==관련논문==
 * Moeller, Martin, and Don Zagier. ‘Modular Embeddings of Teichmueller Curves’. arXiv:1503.05690 [math], 19 March 2015. http://arxiv.org/abs/1503.05690.
 * Ekhad, Shalosh B., and Doron Zeilberger. “Searching for Apery-Style Miracles [Using, Inter-Alia, the Amazing Almkvist-Zeilberger Algorithm].” arXiv:1405.4445 [math], May 17, 2014. http://arxiv.org/abs/1405.4445.

@@ 120번째 줄: / 120번째 줄: @@
 ==관련논문==
 * Ekhad, Shalosh B., and Doron Zeilberger. “Searching for Apery-Style Miracles [Using, Inter-Alia, the Amazing Almkvist-Zeilberger Algorithm].” arXiv:1405.4445 [math], May 17, 2014. http://arxiv.org/abs/1405.4445.
 * Golyshev, Vasily, and Masha Vlasenko. 2012. “Equations D3 and Spectral Elliptic Curves.” arXiv:1212.0205 [math] (December 2). http://arxiv.org/abs/1212.0205.

@@ 44번째 줄: / 44번째 줄: @@
 $$
 r_n=A_n\zeta(2)-B(n)
 $$

@@ 99번째 줄: / 99번째 줄: @@
 * Frits Beukers [http://www.staff.science.uu.nl/~beuke106/caen.pdf Consequences of Apéry's work on $\zeta(3)$], 2003
 * A. van der Poorten [http://dx.doi.org/10.1007/FBF03028234 A proof that Euler missed ... Apéry's Proof of the irrationality of $\zeta(3)$], The Mathematical Intelligencer 1 (4): 195-203, 1979
-** http://jones.math.unibas.ch/~massierer/algebra-hs11/vanderPoorten2.pdf
+** http://maths.mq.edu.au/~alf/45.pdf
 ==관련논문==

@@ 39번째 줄: / 39번째 줄: @@
 ===증명의 아이디어===
 * 각 $n\in \mathbb{Z}_{\geq 0}$에 대하여 다음과 같이 유리함수 $R_n$을 정의하자
-$$R_n(t)=\frac{(-1)^n n! \prod_{j=1}^n t - j}{\prod_{j=0}^n (t + j)^2}$$
+$$R_n(t)=\frac{(-1)^n n! \prod_{j=1}^n (t - j)}{\prod_{j=0}^n (t + j)^2}$$
 * $t\to \infty$일 때, $R_n(t)=O(t^{-2})$이므로, $r_n=\sum_{m=1}^{\infty}R_n(m)$는 수렴한다
 * 이 때, 다음이 성립한다

@@ 10번째 줄: / 10번째 줄: @@
 $$
 * 수열 $A_n$과 $B_n$을 초기조건이 다음과 같이 주어진 점화식 \ref{z2}의 해라 하자
-* $A_0=1, A_1=3, B_0=0, B_1=1$
+* $A_0=1, A_1=3, B_0=0, B_1=5$
 $$
 \begin{array}{cccc}
@@ 16번째 줄: / 16번째 줄: @@
 \hline
 & 1 & 0 & 0 \\
-& 3 & 1 & 0.3333333333 \\
+& 3 & 5 & 1.666666667 \\
-& 19 & \frac{25}{4} & 0.3289473684 \\
+& 19 & \frac{125}{4} & 1.644736842 \\
-& 147 & \frac{1741}{36} & 0.3289871504 \\
+& 147 & \frac{8705}{36} & 1.644935752 \\
-& 1251 & \frac{6585}{16} & 0.3289868106 \\
+& 1251 & \frac{32925}{16} & 1.644934053 \\
-& 11253 & \frac{13327519}{3600} & 0.3289868134 \\
+& 11253 & \frac{13327519}{720} & 1.644934067 \\
-& 104959 & \frac{124308457}{3600} & 0.3289868134 \\
+& 104959 & \frac{124308457}{720} & 1.644934067 \\
-& 1004307 & \frac{19427741063}{58800} & 0.3289868134 \\
+& 1004307 & \frac{19427741063}{11760} & 1.644934067 \\
-& 9793891 & \frac{2273486234953}{705600} & 0.3289868134 \\
+& 9793891 & \frac{2273486234953}{141120} & 1.644934067 \\
-& 96918753 & \frac{202482451324891}{6350400} & 0.3289868134 \\
+& 96918753 & \frac{202482451324891}{1270080} & 1.644934067 \\
 \end{array}
 $$
@@ 30번째 줄: / 30번째 줄: @@
 * $A_n\in \mathbb{Z}$
 * $D_n^2 B_n \in \mathbb{Z}$ 여기서 $D_n\approx e^n$은 [[1부터 n까지의 최소공배수]]
-* $\lim_{n\to \infty} \frac{B_n}{A_n} = \frac{1}{5}\zeta(2)$
+* $\lim_{n\to \infty} \frac{B_n}{A_n} = \zeta(2)$
-* $|\frac{B_n}{A_n} -\frac{1}{5}\zeta(2)|= O(\lambda^{-2n})$ 여기서 $\lambda=(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^5\approx 11.0902$
+* $|\frac{B_n}{A_n} -\zeta(2)|= O(\lambda^{-2n})$ 여기서 $\lambda=(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^5\approx 11.0902$
 ;따름정리
 $\zeta(2)$는 무리수이다
 ;증명
 위의 정리로부터 다음을 얻는다
-$$D_n^2|5B_n -A_n\zeta(2)|=O\left((\frac{e}{\lambda})^{2n}\right) \label{int1}$$
+$$D_n^2|B_n -A_n\zeta(2)|=O\left((\frac{e}{\lambda})^{2n}\right) \label{int1}$$
+===증명의 아이디어===
+* 각 $n\in \mathbb{Z}_{\geq 0}$에 대하여 다음과 같이 유리함수 $R_n$을 정의하자
 ==$\zeta(3)$==

@@ 13번째 줄: / 13번째 줄: @@
 $$
 \begin{array}{cccc}
-  \text{} & A_n & B_n & B_n/A_n \\
+  n & A_n & B_n & B_n/A_n \\
 & 1 & 0 & 0 \\
 & 3 & 1 & 0.3333333333 \\
@@ 30번째 줄: / 31번째 줄: @@
 * $D_n^2 B_n \in \mathbb{Z}$ 여기서 $D_n\approx e^n$은 [[1부터 n까지의 최소공배수]]
 * $\lim_{n\to \infty} \frac{B_n}{A_n} = \frac{1}{5}\zeta(2)$
-* $|\frac{B_n}{A_n} -\frac{1}{5}\zeta(2)|= O(\lambda^{-2n})$ 여기서 $\lambda=(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^5$
+* $|\frac{B_n}{A_n} -\frac{1}{5}\zeta(2)|= O(\lambda^{-2n})$ 여기서 $\lambda=(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^5\approx 11.0902$
@@ 42번째 줄: / 49번째 줄: @@
 $$
 \begin{array}{cccc}
-  \text{} & A_n & B_n & B_n/A_n \\
+  n & A_n & B_n & B_n/A_n \\
 & 1 & 0 & 0 \\
 & 5 & 1 & 0.2000000000 \\
@@ 67번째 줄: / 75번째 줄: @@
 * $\lim_{n\to \infty} \frac{B_n}{A_n} = \frac{1}{6}\zeta(3)$
 * $|\frac{B_n}{A_n} -\frac{1}{6}\zeta(3)|= O(\lambda^{-2n})$ 여기서 $\lambda=\left(1+\sqrt{2}\right)^4$