열방정식 - 편집 역사

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Pythagoras0: /* 메타데이터 */ 새 문단

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메타데이터: 새 문단

2020년 12월 28일 (월) 10:45에 Pythagoras0님의 편집

2020-12-28T10:45:04Z

2020년 11월 14일 (토) 01:45에 Pythagoras0님의 편집

2020-11-14T01:45:40Z

2013년 1월 28일 (월) 22:21에 Pythagoras0님의 편집

2013-01-28T22:21:48Z

Pythagoras0: /* 역사 */

2013-01-28T22:21:13Z

역사

Pythagoras0: /* 자코비세타함수와 heat kernel */

2013-01-23T08:24:59Z

자코비세타함수와 heat kernel

Pythagoras0: /* 유한한 길이의 막대에서의 경계-초기 조건 문제 : 변수분리를 통한 해 */

2013-01-23T08:23:17Z

유한한 길이의 막대에서의 경계-초기 조건 문제 : 변수분리를 통한 해

Pythagoras0: 찾아 바꾸기 – “수학사연표” 문자열을 “수학사 연표” 문자열로

2013-01-15T01:46:20Z

찾아 바꾸기 – “수학사연표” 문자열을 “수학사 연표” 문자열로

Pythagoras0: 찾아 바꾸기 – “
$” 문자열을 “: ” 문자열로$

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찾아 바꾸기 – “<br><math>” 문자열을 “:<math>” 문자열로

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 ** http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=
-== 메타데이터 ==
+==메타데이터==
 ===위키데이터===
 * ID :  [https://www.wikidata.org/wiki/Q6510488 Q6510488]

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		+	== 메타데이터 ==
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		+	===위키데이터===
		+	* ID : [https://www.wikidata.org/wiki/Q6510488 Q6510488]

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 ==개요==
-*  열의 전달을 기술하는 편미분방정식:<math>\frac{\partial u}{\partial t} -\beta\left(\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2u}{\partial y^2}+\frac{\partial^2u}{\partial z^2}\right)=0</math>
+*  열의 전달을 기술하는 편미분방정식:<math>\frac{\partial u}{\partial t} -\beta\left(\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2u}{\partial y^2}+\frac{\partial^2u}{\partial z^2}\right)=0</math>
 *  일반적으로 라플라시안을 사용하여 다음과 같이 표현:<math>\frac{\partial u}{\partial t} = \beta\nabla^2 u</math>
 *  일차원 열방정식
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 *** [[가우시안 적분|가우시안]] 을 heat kernel로 가진다
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 ==유한한 길이의 막대에서의 경계-초기 조건 문제 : 변수분리를 통한 해==
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 <math>T_n(t)=e^{\beta K_{n} t}=e^{-\beta(\frac{2\pi}{L})^2n^2t}</math>
-따라서 열방정식의 해는 <math>u_{n}(x,t)=e^{ \frac{2\pi i nx}{L}}e^{-\beta(\frac{2\pi}{L})^2n^2t}</math>  의 선형결합으로 나타낼 수 있다.
+따라서 열방정식의 해는 <math>u_{n}(x,t)=e^{ \frac{2\pi i nx}{L}}e^{-\beta(\frac{2\pi}{L})^2n^2t}</math>  의 선형결합으로 나타낼 수 있다.
 <math>u(x,t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\hat{f}(n)e^{ \frac{2\pi i nx}{L}}e^{-\beta(\frac{2\pi}{L})^2n^2t}</math>
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 <math>\hat{f}(n)=\int_{0}^{L}f(y)e^{-\frac{2\pi i ny}{L}}\,dy</math> 는 [[푸리에 급수]]
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 ==자코비세타함수와 heat kernel==
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 :<math>\vartheta (x,it)=1+2\sum_{n=1}^\infty \exp(-\pi n^2 t) \cos(2\pi nx)</math>:<math>\frac{\partial}{\partial t} \vartheta(x,it)=\frac{1}{4\pi} \frac{\partial^2}{\partial x^2} \vartheta(x,it)</math>
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 ==가우시안 Heat kernel==
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 *  확률론적 이해 : <math>\beta=1/2</math> 인 경우:<math>u(x,t)=\int_{-\infty}^{\infty}f(y)K(x-y,t)\,dy=E[f(X_t)]</math> 여기서 <math>X_t</math>는 <math>N(x,t)</math>를 따르는 확률변수
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 ==역사==
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 * [[수학사 연표]]
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 ==메모==
-*  천안함 관련 http://www.cheonan46.go.kr//89
+*  천안함 관련 http://www.cheonan46.go.kr//89
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 ==관련된 항목들==
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 * [[드무아브르-라플라스 중심극한정리]]
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 ==매스매티카 파일 및 계산 리소스==
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 * [[매스매티카 파일 목록]]
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-==사전 형태의 자료==
+==사전 형태의 자료==
 * [http://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%97%B4%EB%B0%A9%EC%A0%95%EC%8B%9D http://ko.wikipedia.org/wiki/열방정식]
@@ 122번째 줄: / 122번째 줄: @@
 * http://en.wikipedia.org/wiki/Heat_kernel
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 ==관련논문==
@@ 133번째 줄: / 133번째 줄: @@
 * http://dx.doi.org/10.1029/1998RG900006
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 ==관련도서==
 * [http://books.google.com/books?id=JXtJAAAAYAAJ&printsec=frontcover&hl=ko&source=gbs_v2_summary_r&cad=0#v=onepage&q&f=false Théorie analytique de la chaleur]
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 ==관련기사==

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 ==개요==
-*  열의 전달을 기술하는 편미분방정식:<math>\frac{\partial u}{\partial t} -\beta\left(\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2u}{\partial y^2}+\frac{\partial^2u}{\partial z^2}\right)=0</math><br>
+*  열의 전달을 기술하는 편미분방정식:<math>\frac{\partial u}{\partial t} -\beta\left(\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2u}{\partial y^2}+\frac{\partial^2u}{\partial z^2}\right)=0</math>
-*  일반적으로 라플라시안을 사용하여 다음과 같이 표현:<math>\frac{\partial u}{\partial t} = \beta\nabla^2 u</math><br>
+*  일반적으로 라플라시안을 사용하여 다음과 같이 표현:<math>\frac{\partial u}{\partial t} = \beta\nabla^2 u</math>
-*  일차원 열방정식<br>
+*  일차원 열방정식
-**  유한한 길이의 막대<br>
+**  유한한 길이의 막대
-*** [[자코비 세타함수]] 를 heat kernel 로 가진다<br>
+*** [[자코비 세타함수]] 를 heat kernel 로 가진다
-**  무한한 길이의 막대<br>
+**  무한한 길이의 막대
-*** [[가우시안 적분|가우시안]] 을 heat kernel로 가진다<br>
+*** [[가우시안 적분|가우시안]] 을 heat kernel로 가진다
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 ==유한한 길이의 막대에서의 경계-초기 조건 문제 : 변수분리를 통한 해==
-*  경계조건 (양 끝점의 온도는 고정):<math> t>0</math> 일 때, <math>u(0,t)=u(L,t)</math><br>
+*  경계조건 (양 끝점의 온도는 고정):<math> t>0</math> 일 때, <math>u(0,t)=u(L,t)</math>
-*  초기조건 (<math>t=0</math>) 에서의 온도분포:<math>u(x,0)=f(x)</math><br>
+*  초기조건 (<math>t=0</math>) 에서의 온도분포:<math>u(x,0)=f(x)</math>
 <math>u(x,t)=X(x)T(t)</math>로 두자.
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 *  유한한 길이의 막대에서의 경계-초기값 문제
 :<math>u(x,t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\hat{f}(n)e^{ \frac{2\pi i nx}{L}}e^{-\beta(\frac{2\pi}{L})^2n^2t}</math>
-:<math>\hat{f}(n)=\int_{0}^{L}f(y)e^{-\frac{2\pi i ny}{L}}\,dy</math><br>
+:<math>\hat{f}(n)=\int_{0}^{L}f(y)e^{-\frac{2\pi i ny}{L}}\,dy</math>
 * <math>L=1,\beta=1/2\pi</math> 로 두자.
-:<math>u(x,t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\hat{f}(n)e^{2\pi i nx}e^{-2\pi n^2t}</math>:<math>\hat{f}(n)=\int_{0}^{1}f(y)e^{-2\pi i ny}\,dy</math><br>
+:<math>u(x,t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\hat{f}(n)e^{2\pi i nx}e^{-2\pi n^2t}</math>:<math>\hat{f}(n)=\int_{0}^{1}f(y)e^{-2\pi i ny}\,dy</math>
 *  위의 두 식을 함께 쓰면,
-:<math>u(x,t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\hat{f}(n)e^{2\pi i nx}e^{-2\pi n^2t}=\int_{0}^{1}(\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{-2\pi i ny}e^{2\pi i nx}e^{-2\pi n^2t}) f(y)\,dy=\int_{0}^{1}K(x-y,t)f(y)\,dy </math><br> 여기서 <math>K(x,t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{2\pi i nx}e^{-2\pi n^2t}</math><br> heat kernel 로서의 세타함수를 얻는다<br>
+:<math>u(x,t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\hat{f}(n)e^{2\pi i nx}e^{-2\pi n^2t}=\int_{0}^{1}(\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{-2\pi i ny}e^{2\pi i nx}e^{-2\pi n^2t}) f(y)\,dy=\int_{0}^{1}K(x-y,t)f(y)\,dy </math> 여기서 <math>K(x,t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{2\pi i nx}e^{-2\pi n^2t}</math> heat kernel 로서의 세타함수를 얻는다
 * [[자코비 세타함수]]
-:<math>\vartheta (x,it)=1+2\sum_{n=1}^\infty \exp(-\pi n^2 t) \cos(2\pi nx)</math>:<math>\frac{\partial}{\partial t} \vartheta(x,it)=\frac{1}{4\pi} \frac{\partial^2}{\partial x^2} \vartheta(x,it)</math><br>
+:<math>\vartheta (x,it)=1+2\sum_{n=1}^\infty \exp(-\pi n^2 t) \cos(2\pi nx)</math>:<math>\frac{\partial}{\partial t} \vartheta(x,it)=\frac{1}{4\pi} \frac{\partial^2}{\partial x^2} \vartheta(x,it)</math>
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 ==가우시안 Heat kernel==
-*  무한한 길이의 막대를 가정 <math>-\infty<x<\infty</math><br>
+*  무한한 길이의 막대를 가정 <math>-\infty<x<\infty</math>
-*  초기조건 (<math>t=0</math>) 에서의 온도분포:<math>u(x,0)=f(x)</math><br>
+*  초기조건 (<math>t=0</math>) 에서의 온도분포:<math>u(x,0)=f(x)</math>
-* <math>N(\mu,\sigma^2)</math> 인 정규분포의 확률밀도함수는 다음과 같다 ([[정규분포와 그 확률밀도함수]]):<math>\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)</math><br>
+* <math>N(\mu,\sigma^2)</math> 인 정규분포의 확률밀도함수는 다음과 같다 ([[정규분포와 그 확률밀도함수]]):<math>\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)</math>
-*  heat kernel:<math>K(x,t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi \beta t}}\exp\left(-\frac{x^2}{4\beta t}\right)</math><br>
+*  heat kernel:<math>K(x,t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi \beta t}}\exp\left(-\frac{x^2}{4\beta t}\right)</math>
-*  heat kernel 을 이용한 열방정식의 해:<math>u(x,t)=\int_{-\infty}^{\infty}f(y)K(x-y,t)\,dy=\frac{1}{\sqrt{2 \pi \beta t}}\int_{-\infty}^{\infty}f(y)\exp\left(-\frac{(x-y)^2}{4\beta t}\right)\,dy</math><br>
+*  heat kernel 을 이용한 열방정식의 해:<math>u(x,t)=\int_{-\infty}^{\infty}f(y)K(x-y,t)\,dy=\frac{1}{\sqrt{2 \pi \beta t}}\int_{-\infty}^{\infty}f(y)\exp\left(-\frac{(x-y)^2}{4\beta t}\right)\,dy</math>
-*  확률론적 이해 : <math>\beta=1/2</math> 인 경우:<math>u(x,t)=\int_{-\infty}^{\infty}f(y)K(x-y,t)\,dy=E[f(X_t)]</math><br> 여기서 <math>X_t</math>는 <math>N(x,t)</math>를 따르는 확률변수<br>
+*  확률론적 이해 : <math>\beta=1/2</math> 인 경우:<math>u(x,t)=\int_{-\infty}^{\infty}f(y)K(x-y,t)\,dy=E[f(X_t)]</math> 여기서 <math>X_t</math>는 <math>N(x,t)</math>를 따르는 확률변수
@@ 86번째 줄: / 86번째 줄: @@
 ==메모==
-*  천안함 관련 http://www.cheonan46.go.kr//89<br>
+*  천안함 관련 http://www.cheonan46.go.kr//89
@@ 94번째 줄: / 94번째 줄: @@
 ==관련된 항목들==
-* [[정규분포와 그 확률밀도함수]]<br>
+* [[정규분포와 그 확률밀도함수]]
-* [[드무아브르-라플라스 중심극한정리]]<br>
+* [[드무아브르-라플라스 중심극한정리]]
@@ 139번째 줄: / 139번째 줄: @@
 ==관련도서==
-* [http://books.google.com/books?id=JXtJAAAAYAAJ&printsec=frontcover&hl=ko&source=gbs_v2_summary_r&cad=0#v=onepage&q&f=false Théorie analytique de la chaleur]<br>
+* [http://books.google.com/books?id=JXtJAAAAYAAJ&printsec=frontcover&hl=ko&source=gbs_v2_summary_r&cad=0#v=onepage&q&f=false Théorie analytique de la chaleur]
@@ 147번째 줄: / 147번째 줄: @@
 ==관련기사==
-*  네이버 뉴스 검색 (키워드 수정)<br>
+*  네이버 뉴스 검색 (키워드 수정)
 ** [http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=%EC%97%B4%EB%B0%A9%EC%A0%95%EC%8B%9D http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=열방정식]
 ** http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=
 ** http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=

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−	~~==이 항목의 스프링노트 원문주소==~~
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−	* [[열방정식]]<br>
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	==개요==		==개요==

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 ==역사==
+* 1807 - 푸리에가 함수의 삼각함수로의 분해를 발표, On the Propagation of Heat in Solid Bodies [[푸리에 급수]]
+* 1822 - 푸리에가 '열의 해석적 이론 ''Théorie Analytique de la Chaleur'''을 출판
 * [[수학사 연표]]

@@ 83번째 줄: / 83번째 줄: @@
 * http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
-* [[수학사연표 (역사)|수학사연표]]
+* [[수학사 연표]]
+*

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 ==개요==
-*  열의 전달을 기술하는 편미분방정식<br><math>\frac{\partial u}{\partial t} -\beta\left(\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2u}{\partial y^2}+\frac{\partial^2u}{\partial z^2}\right)=0</math><br>
+*  열의 전달을 기술하는 편미분방정식:<math>\frac{\partial u}{\partial t} -\beta\left(\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2u}{\partial y^2}+\frac{\partial^2u}{\partial z^2}\right)=0</math><br>
-*  일반적으로 라플라시안을 사용하여 다음과 같이 표현<br><math>\frac{\partial u}{\partial t} = \beta\nabla^2 u</math><br>
+*  일반적으로 라플라시안을 사용하여 다음과 같이 표현:<math>\frac{\partial u}{\partial t} = \beta\nabla^2 u</math><br>
 *  일차원 열방정식<br>
 **  유한한 길이의 막대<br>
@@ 23번째 줄: / 23번째 줄: @@
 ==유한한 길이의 막대에서의 경계-초기 조건 문제 : 변수분리를 통한 해==
-*  경계조건 (양 끝점의 온도는 고정)<br><math> t>0</math> 일 때, <math>u(0,t)=u(L,t)</math><br>
+*  경계조건 (양 끝점의 온도는 고정):<math> t>0</math> 일 때, <math>u(0,t)=u(L,t)</math><br>
-*  초기조건 (<math>t=0</math>) 에서의 온도분포<br><math>u(x,0)=f(x)</math><br>
+*  초기조건 (<math>t=0</math>) 에서의 온도분포:<math>u(x,0)=f(x)</math><br>
 <math>u(x,t)=X(x)T(t)</math>로 두자.
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 ==자코비세타함수와 heat kernel==
-*  유한한 길이의 막대에서의 경계-초기값 문제<br><math>u(x,t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\hat{f}(n)e^{ \frac{2\pi i nx}{L}}e^{-\beta(\frac{2\pi}{L})^2n^2t</math><br><math>\hat{f}(n)=\int_{0}^{L}f(y)e^{-\frac{2\pi i ny}{L}}\,dy</math><br>
+*  유한한 길이의 막대에서의 경계-초기값 문제:<math>u(x,t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\hat{f}(n)e^{ \frac{2\pi i nx}{L}}e^{-\beta(\frac{2\pi}{L})^2n^2t</math>:<math>\hat{f}(n)=\int_{0}^{L}f(y)e^{-\frac{2\pi i ny}{L}}\,dy</math><br>
-* <math>L=1,\beta=1/2\pi</math> 로 두자.<br><math>u(x,t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\hat{f}(n)e^{2\pi i nx}e^{-2\pi n^2t}</math><br><math>\hat{f}(n)=\int_{0}^{1}f(y)e^{-2\pi i ny}\,dy</math><br>
+* <math>L=1,\beta=1/2\pi</math> 로 두자.:<math>u(x,t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\hat{f}(n)e^{2\pi i nx}e^{-2\pi n^2t}</math>:<math>\hat{f}(n)=\int_{0}^{1}f(y)e^{-2\pi i ny}\,dy</math><br>
-*  위의 두 식을 함께 쓰면,<br><math>u(x,t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\hat{f}(n)e^{2\pi i nx}e^{-2\pi n^2t}=\int_{0}^{1}(\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{-2\pi i ny}e^{2\pi i nx}e^{-2\pi n^2t}) f(y)\,dy=\int_{0}^{1}K(x-y,t)f(y)\,dy </math><br> 여기서 <math>K(x,t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{2\pi i nx}e^{-2\pi n^2t}</math><br> heat kernel 로서의 세타함수를 얻는다<br>
+*  위의 두 식을 함께 쓰면,:<math>u(x,t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\hat{f}(n)e^{2\pi i nx}e^{-2\pi n^2t}=\int_{0}^{1}(\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{-2\pi i ny}e^{2\pi i nx}e^{-2\pi n^2t}) f(y)\,dy=\int_{0}^{1}K(x-y,t)f(y)\,dy </math><br> 여기서 <math>K(x,t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{2\pi i nx}e^{-2\pi n^2t}</math><br> heat kernel 로서의 세타함수를 얻는다<br>
-* [[자코비 세타함수]]<br><math>\vartheta (x,it)=1+2\sum_{n=1}^\infty \exp(-\pi n^2 t) \cos(2\pi nx)</math><br><math>\frac{\partial}{\partial t} \vartheta(x,it)=\frac{1}{4\pi} \frac{\partial^2}{\partial x^2} \vartheta(x,it)</math><br>
+* [[자코비 세타함수]]:<math>\vartheta (x,it)=1+2\sum_{n=1}^\infty \exp(-\pi n^2 t) \cos(2\pi nx)</math>:<math>\frac{\partial}{\partial t} \vartheta(x,it)=\frac{1}{4\pi} \frac{\partial^2}{\partial x^2} \vartheta(x,it)</math><br>
@@ 68번째 줄: / 68번째 줄: @@
 *  무한한 길이의 막대를 가정 <math>-\infty<x<\infty</math><br>
-*  초기조건 (<math>t=0</math>) 에서의 온도분포<br><math>u(x,0)=f(x)</math><br>
+*  초기조건 (<math>t=0</math>) 에서의 온도분포:<math>u(x,0)=f(x)</math><br>
-* <math>N(\mu,\sigma^2)</math> 인 정규분포의 확률밀도함수는 다음과 같다 ([[정규분포와 그 확률밀도함수]])<br><math>\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)</math><br>
+* <math>N(\mu,\sigma^2)</math> 인 정규분포의 확률밀도함수는 다음과 같다 ([[정규분포와 그 확률밀도함수]]):<math>\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)</math><br>
-*  heat kernel<br><math>K(x,t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi \beta t}}\exp\left(-\frac{x^2}{4\beta t}\right)</math><br>
+*  heat kernel:<math>K(x,t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi \beta t}}\exp\left(-\frac{x^2}{4\beta t}\right)</math><br>
-*  heat kernel 을 이용한 열방정식의 해<br><math>u(x,t)=\int_{-\infty}^{\infty}f(y)K(x-y,t)\,dy=\frac{1}{\sqrt{2 \pi \beta t}}\int_{-\infty}^{\infty}f(y)\exp\left(-\frac{(x-y)^2}{4\beta t}\right)\,dy</math><br>
+*  heat kernel 을 이용한 열방정식의 해:<math>u(x,t)=\int_{-\infty}^{\infty}f(y)K(x-y,t)\,dy=\frac{1}{\sqrt{2 \pi \beta t}}\int_{-\infty}^{\infty}f(y)\exp\left(-\frac{(x-y)^2}{4\beta t}\right)\,dy</math><br>
-*  확률론적 이해 : <math>\beta=1/2</math> 인 경우<br><math>u(x,t)=\int_{-\infty}^{\infty}f(y)K(x-y,t)\,dy=E[f(X_t)]</math><br> 여기서 <math>X_t</math>는 <math>N(x,t)</math>를 따르는 확률변수<br>
+*  확률론적 이해 : <math>\beta=1/2</math> 인 경우:<math>u(x,t)=\int_{-\infty}^{\infty}f(y)K(x-y,t)\,dy=E[f(X_t)]</math><br> 여기서 <math>X_t</math>는 <math>N(x,t)</math>를 따르는 확률변수<br>