오일러의 q-초기하급수에 대한 무한곱 공식 - 편집 역사

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Pythagoras0: /* 관련논문 */

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Pythagoras0: 새 문서: ==개요== * q-초기하급수의 무한곱 : $(-z;q)_{\infty}=\prod_{n=0}^{\infty}(1+zq^n)=\sum_{n\geq 0}\frac{q^{n(n-1)/2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)} z^n$ : $\frac{1}...$

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새 문서: ==개요== * q-초기하급수의 무한곱 :<math>(-z;q)_{\infty}=\prod_{n=0}^{\infty}(1+zq^n)=\sum_{n\geq 0}\frac{q^{n(n-1)/2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)} z^n</math> :<math>\frac{1}...

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==개요==
* q-초기하급수의 무한곱
:<math>(-z;q)_{\infty}=\prod_{n=0}^{\infty}(1+zq^n)=\sum_{n\geq 0}\frac{q^{n(n-1)/2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)} z^n</math>
:<math>\frac{1}{(z;q)_{\infty}}=\prod_{n=0}^{\infty}\frac{1}{1-zq^n}=\sum_{n\geq 0}\frac{1}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)} z^n</math>
* 증명은 [[Q-이항정리]]를 통해 얻을 수 있다

==보존 오일러 공식==

N개의 보존 입자가 있고, 에너지의 단위를 <math>\hbar\omega=1</math>으로 하여, 에너지레벨이 <math>E_0,E_1,E_2,\cdots</math> 인 시스템을 생각하자.

N개의 입자가 있는 보존 시스템의 [http://ko.wikipedia.org/wiki/%EB%B6%84%EB%B0%B0_%ED%95%A8%EC%88%98_%28%ED%86%B5%EA%B3%84_%EC%97%AD%ED%95%99%29 분배함수]를 <math>Z_B(N)</math> 이라 두자.

큰 분배함수(grand partition function)는 <math>Z_G=\sum_{n=0}^{\infty}Z_B(N)z^N</math> 으로 쓸수 있다.

<math>n_0,n_1,n_2,\cdots</math> 은 각각 에너지가 <math>E_0,E_1,E_2,\cdots</math>인 입자의 수라고 하면, 분배함수 $Z_B(N)$는 다음과 같이 표현된다
:<math>Z_B(N)=\sum_{\sum n_r=N}\exp(-\beta\sum_{r}n_r E_r)</math>
큰 분배함수 $Z_G(N)$는 다음과 같이 주어진다
:<math>
\begin{aligned}
Z_G&=\sum_{N=0}^{\infty}Z_B(N)z^N=\sum_{N=0}^{\infty} \sum_{\sum n_r=N}\exp(-\beta\sum_{r}n_r E_r)z^N\\
{}&=\prod_{r=0}^{\infty}\sum_{n_r=0}^{\infty} (ze^{-\beta E_r})^{n_r}=\prod_{r=0}\frac{1}{1-ze^{-\beta E_r}}
\end{aligned}
</math>

이제 N개의 보존 입자가 있고, 에너지의 단위를 <math>\hbar\omega=1</math>으로 하여, 에너지레벨이 <math>0,1,2,\cdots</math> 인 시스템을 생각하자.
<math>E_r=r</math>, <math>q=e^{-\beta}=e^{-\hbar \omega}</math>

여기에 보존 오일러 공식을 이용하면,

:<math>\prod_{n=0}^{\infty}\frac{1}{1-zq^n}=\sum_{n\geq 0}\frac{1}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)} z^n</math>

따라서 N개의 보존이 있는 경우의 분배함수는 다음과 같이 쓸 수 있다
:<math>Z_B(N)=\frac{1}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^N)}.</math>

==페르미온 오일러 공식==
다음과 같이 보존 시스템과 페르미온 시스템 사이에 일대일대응을 만들 수 있다. 보존 시스템의 각 입자의 에너지가 <math>0\leq n_1^B\leq n_2^B\leq \cdots\leq n_N^B</math> 인 경우와 페르미온 시스템의 각 입자의 에너지가 <math>0\leq n_1^F< n_2^F< \cdots< n_N^F</math> 인 경우,
<math>n_j^B=n_j^F-j+1</math>로 두면, 일대일 대응을 얻는다.

===분배함수===
보존의 경우 전체 에너지는 <math>E^B=n_1^B+ n_2^B+ \cdots+ n_N^B</math>이고, 페르미온의 경우 전체 에너지는
:<math>E^F=n_1^F+ n_2^F+ \cdots+ n_N^F=n_1^B+ n_2^B+ \cdots+ n_N^B+0+1+2+\cdots+N-1=E^B+\frac{N(N-1)}{2}=E^B+{N\choose 2}</math>가 된다.
따라서 N개의 입자가 있는 보존 시스템의 분배함수는 <math>Z_B(N)=\frac{1}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^N)}</math> 이 된다.

페르미온 시스템의 분배함수는
:<math>Z_F(N)=\frac{q^{N \choose 2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^N)}=\frac{q^{N \choose 2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^N)}</math> 이 된다. 여기서 <math>q=e^{-\beta\hbar\omega}</math>.

큰 분배함수(grand partition function)는
:<math>Z_G=\sum_{n=0}^{\infty}Z_F(n)z^n=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{q^{n \choose 2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)}z^n</math> 으로 표현된다. 여기서 <math>z=e^{\beta\mu}</math>.

그런데 여기서 우변처럼 주어지는 함수를 수학에서는 q-초기하급수(q-hypergeometric series 또는 basic hypergeometric series) 라고 부른다. [[Q-초기하급수(q-hypergeometric series)와 양자미적분학(q-calculus)]] 참조

오일러의 공식으로부터 다음을 얻는다
:<math>Z_G=\prod_{n=0}^{\infty}(1+zq^n).</math>

==리뷰논문, 에세이, 강의노트==
* George E. Andrews[http://www.ams.org/bull/2007-44-04/S0273-0979-07-01180-9/ Euler's "De Partitio Numerorum"], Bull. Amer. Math. Soc. 44 (2007), 561-573.

==관련논문==
* Zhang, Changgui. 2009. “A Modular Type Formula for Euler Infinite Product $(1-x)(1-xq)(1-xq^2)(1-xq^3)...$.” arXiv:0905.1343 (May 8). http://arxiv.org/abs/0905.1343.

[[분류:q-급수]]

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	:<math>Z_G=\prod_{n=0}^{\infty}(1+zq^n).</math>		:<math>Z_G=\prod_{n=0}^{\infty}(1+zq^n).</math>

		+
		+	==매스매티카 파일 및 계산 리소스==
		+	* https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxNzRzY3ZjQlN5M3M/edit

← 이전 판		2013년 3월 14일 (목) 17:49 판
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	[[분류:q-급수]]		[[분류:q-급수]]
		+	[[분류:통계물리]]

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 큰 분배함수(grand partition function)는 <math>Z_G=\sum_{n=0}^{\infty}Z_B(N)z^N</math> 으로 쓸수 있다.
-<math>n_0,n_1,n_2,\cdots</math> 은 각각 에너지가 <math>E_0,E_1,E_2,\cdots</math>인 입자의 수라고 하면, 분배함수 $Z_B(N)$는 다음과 같이 표현된다
+<math>n_0,n_1,n_2,\cdots</math> 은 각각 에너지가 <math>E_0,E_1,E_2,\cdots</math>인 입자의 수라고 하면, 분배함수 <math>Z_B(N)</math>는 다음과 같이 표현된다
 :<math>Z_B(N)=\sum_{\sum n_r=N}\exp(-\beta\sum_{r}n_r E_r)</math>
-큰 분배함수 $Z_G(N)$는 다음과 같이 주어진다
+큰 분배함수 <math>Z_G(N)</math>는 다음과 같이 주어진다
 :<math>
 \begin{aligned}
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 ==관련논문==
-* Zhang, Changgui. 2009. “A Modular Type Formula for Euler Infinite Product $(1-x)(1-xq)(1-xq^2)(1-xq^3)...$.” arXiv:0905.1343 (May 8). http://arxiv.org/abs/0905.1343.
+* Zhang, Changgui. 2009. “A Modular Type Formula for Euler Infinite Product <math>(1-x)(1-xq)(1-xq^2)(1-xq^3)...</math>.” arXiv:0905.1343 (May 8). http://arxiv.org/abs/0905.1343.
 * Richard J. McIntosh [http://dx.doi.org/10.1023/A:1006949508631 Some Asymptotic Formulae for q-Shifted Factorials], The Ramanujan Journal, 1999

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 \end{aligned}
 </math>
+===특수한 경우===
 이제 N개의 보존 입자가 있고, 에너지의 단위를 <math>\hbar\omega=1</math>으로 하여, 에너지레벨이  <math>0,1,2,\cdots</math> 인 시스템을 생각하자.
 <math>E_r=r</math>, <math>q=e^{-\beta}=e^{-\hbar \omega}</math>
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 큰 분배함수(grand partition function)는
-:<math>Z_G=\sum_{n=0}^{\infty}Z_F(n)z^n=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{q^{n \choose 2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)}z^n</math> 으로 표현된다. 여기서 <math>z=e^{\beta\mu}</math>.
+:<math>Z_G=\sum_{n=0}^{\infty}Z_F(n)z^n=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{q^{n \choose 2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)}z^n \label{gpf}</math> 으로 표현된다. 여기서 <math>z=e^{\beta\mu}</math>.
 오일러의 공식으로부터 다음을 얻는다
 :<math>Z_G=\prod_{n=0}^{\infty}(1+zq^n).</math>

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 :<math>\frac{1}{(z;q)_{\infty}}=\prod_{n=0}^{\infty}\frac{1}{1-zq^n}=\sum_{n\geq 0}\frac{1}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)} z^n</math>
 * 증명은 [[Q-이항정리]]를 통해 얻을 수 있다
+* [[양자 다이로그 함수(quantum dilogarithm)]]