이차잉여 - 편집 역사

2020년 11월 16일 (월) 12:19에 Pythagoras0님의 편집

2020-11-16T12:19:26Z

Pythagoras0: /* 관련논문 */

2015-12-24T06:36:38Z

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2014-10-28T07:58:45Z

Pythagoras0: 새 문서: ==개요== * 정수 $a$를 소수 $p$로 나눈 나머지가 어떤 완전제곱수를 $p$로 나눈 나머지와 같으면 $p$에 대한 이차잉여라 한다 * 소수 $p$에 대하...

2014-01-19T17:23:49Z

새 문서: ==개요== * 정수 $a$를 소수 $p$로 나눈 나머지가 어떤 완전제곱수를 $p$로 나눈 나머지와 같으면 $p$에 대한 이차잉여라 한다 * 소수 $p$에 대하...

새 문서

==개요==
* 정수 $a$를 소수 $p$로 나눈 나머지가 어떤 완전제곱수를 $p$로 나눈 나머지와 같으면 $p$에 대한 이차잉여라 한다
* 소수 $p$에 대하여, 이차합동식 <math>x^2\equiv a \pmod p</math> 의 해의 개수에 관련된 문제로 볼 수 있다
* 두 홀수인 소수 $p,q$가 서로의 법에 대한 이차잉여가 될 조건은 긴밀히 연관되어 있으며, 이를 [[이차잉여의 상호법칙]]이라 한다

==이차잉여==
===예===
* [[합동식 (모듈로 modulo 연산)]]
* 소수 3에 대한 이차잉여
** 3으로 나눈 나머지가 1인수
* 소수 5에 대한 이차잉여
** 5로 나눈 나머지가 1 또는 4
* 이차잉여를 판정하는 하나의 방법은 [[가우스의 보조정리(Gauss's lemma)]]를 사용하는 것이다

===군을 통한 이해===
* 소수 $p$에 대하여, <math>(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^\times</math>는 [[순환군]]이다
* 순환군으로서의 생성원은 [[소수에 대한 원시근(primitive root) 목록]] 항목 참조
* 이차잉여가 이루는 <math>(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^\times</math>의 부분집합은 곱셈에 대한 부분군이 된다

===테이블===
* 처음 몇개의 소수에 대한 이차잉여와 비이차잉여
$$
\begin{array}{c|c|c}
\text{} & \text{quadratic residue} & \text{quadratic non-residue} \\
\hline
2 & \{1\} & \{\} \\
3 & \{1\} & \{2\} \\
5 & \{1,4\} & \{2,3\} \\
7 & \{1,2,4\} & \{3,5,6\} \\
11 & \{1,3,4,5,9\} & \{2,6,7,8,10\} \\
13 & \{1,3,4,9,10,12\} & \{2,5,6,7,8,11\} \\
17 & \{1,2,4,8,9,13,15,16\} & \{3,5,6,7,10,11,12,14\} \\
19 & \{1,4,5,6,7,9,11,16,17\} & \{2,3,8,10,12,13,14,15,18\} \\
23 & \{1,2,3,4,6,8,9,12,13,16,18\} & \{5,7,10,11,14,15,17,19,20,21,22\} \\
29 & \{1,4,5,6,7,9,13,16,20,22,23,24,25,28\} & \{2,3,8,10,11,12,14,15,17,18,19,21,26,27\}
\end{array}
$$

==가우스 합==
* $A,B$를 다음과 같이 정의하자
:<math>A=\sum_{a\in QR} \zeta^a,\quad B=\sum_{a\in QNR} \zeta^a</math>
다음이 성립한다
:<math>A+B=-1</math>
:<math>A-B=\sum_{a=1}^{p-1} \left(\frac{a}{p}\right) \zeta^a</math>
* $A-B$는 [[가우스 합]] $G(p)=\sum_{r=0}^{p-1} e^{2\pi i r^2/p}$

==디리클레 유수 공식의 응용==
* 7 이상의 소수 <math>p \equiv 3 \pmod{4}</math>를 생각하자
* 이차수체 <math>K=\mathbb{Q}(\sqrt{-p})</math> 라 두면, <math>d_K=-p</math>
* 준동형사상 $\chi \colon(\mathbb{Z}/d_K\mathbb{Z})^\times \to \mathbb C^{\times}$, <math>\chi(a)=\left(\frac{a}{p}\right)</math> 를 정의하자.
* <math>p \equiv 3 \pmod{4}</math> 이므로 <math>\chi(-1)=-1</math>이고, [[디리클레 L-함수]]에서 다음을 얻는다
:<math>L(1,\chi)=\frac{i\pi \tau(\chi)}{p}\sum_{a=1}^{p-1}\bar\chi(a)\frac{a}{p}=\frac{i\pi \tau(\chi)}{p}\sum_{a=1}^{p-1}\chi(a)\frac{a}{p}</math>
* 한편, [[이차 수체에 대한 디리클레 유수 (class number) 공식]]에서 다음을 얻는다
:<math>L(1,\chi)=\frac{\pi h_K}{\sqrt p}</math>
* [[가우스 합]]은 <math>\tau (\chi)=i\sqrt p</math> 이므로 위의 두 값을 비교하면,
:<math>h_K=\frac{\sqrt p }{\pi}\frac{i\pi\tau(\chi)}{p}\sum_{a=1}^{p-1}\chi(a)\frac{a}{p}=-\sum_{a=1}^{p-1}(\frac{a}{p})\frac{a}{p}</math>
* $p=3$이면 $-\sum_{a=1}^{p-1}(\frac{a}{p})a=-1+2=1$
* 이로부터 소수 <math>p \equiv 3 \pmod{4}</math>에 대하여 기약잉여계 $\{1,2,\cdots, p-1\}$에서의 이차비잉여의 합이 이차잉여의 합보다 크다는 것을 알 수 있다.
* $p \equiv 1 \pmod{4}$이면, 다음이 성립한다
$$
\sum_{a=1}^{p-1}(\frac{a}{p})a=0
$$

==관련된 항목들==
* [[이차잉여의 상호법칙]]

==매스매티카 파일 및 계산 리소스==
* https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxOFlYclVld0swX1k/edit
[[분류:초등정수론]]
[[분류:정수론]]

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 ==관련논문==
 * Tao, Terence. ‘The Elliott-Halberstam Conjecture Implies the Vinogradov Least Quadratic Nonresidue Conjecture’. arXiv:1410.7073 [math], 26 October 2014. http://arxiv.org/abs/1410.7073.
 [[분류:초등정수론]]
 [[분류:정수론]]

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 ==개요==
-* 정수 $a$를 소수 $p$로 나눈 나머지가 어떤 완전제곱수를 $p$로 나눈 나머지와 같으면 $p$에 대한 이차잉여라 한다
+* 정수 <math>a</math>를 소수 <math>p</math>로 나눈 나머지가 어떤 완전제곱수를 <math>p</math>로 나눈 나머지와 같으면 <math>p</math>에 대한 이차잉여라 한다
-* 소수 $p$에 대하여, 이차합동식 <math>x^2\equiv a \pmod p</math> 의 해의 개수에 관련된 문제로 볼 수 있다
+* 소수 <math>p</math>에 대하여, 이차합동식 <math>x^2\equiv a \pmod p</math> 의 해의 개수에 관련된 문제로 볼 수 있다
-* 두 홀수인 소수 $p,q$가 서로의 법에 대한 이차잉여가 될 조건은 긴밀히 연관되어 있으며, 이를 [[이차잉여의 상호법칙]]이라 한다
+* 두 홀수인 소수 <math>p,q</math>가 서로의 법에 대한 이차잉여가 될 조건은 긴밀히 연관되어 있으며, 이를 [[이차잉여의 상호법칙]]이라 한다
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 ===군을 통한 이해===
-* 소수 $p$에 대하여, <math>(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^\times</math>는 [[순환군]]이다
+* 소수 <math>p</math>에 대하여, <math>(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^\times</math>는 [[순환군]]이다
 * 순환군으로서의 생성원은 [[소수에 대한 원시근(primitive root) 목록]] 항목 참조
 * 이차잉여가 이루는 <math>(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^\times</math>의 부분집합은 곱셈에 대한 부분군이 된다
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 ===테이블===
 * 처음 몇개의 소수에 대한 이차잉여와 비이차잉여
-$$
+:<math>
 \begin{array}{c|c|c}
   \text{} & \text{quadratic residue} & \text{quadratic non-residue} \\
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 & \{1,4,5,6,7,9,13,16,20,22,23,24,25,28\} & \{2,3,8,10,11,12,14,15,17,18,19,21,26,27\}
 \end{array}
-$$
+</math>
 ==가우스 합==
-* $A,B$를 다음과 같이 정의하자
+* <math>A,B</math>를 다음과 같이 정의하자
 :<math>A=\sum_{a\in QR} \zeta^a,\quad B=\sum_{a\in QNR} \zeta^a</math>
 다음이 성립한다
 :<math>A+B=-1</math>
 :<math>A-B=\sum_{a=1}^{p-1} \left(\frac{a}{p}\right) \zeta^a</math>
-* $A-B$는 [[가우스 합]] $G(p)=\sum_{r=0}^{p-1} e^{2\pi i r^2/p}$
+* <math>A-B</math>는 [[가우스 합]] <math>G(p)=\sum_{r=0}^{p-1} e^{2\pi i r^2/p}</math>
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 * 7 이상의 소수 <math>p \equiv 3 \pmod{4}</math>를 생각하자
 * 이차수체 <math>K=\mathbb{Q}(\sqrt{-p})</math> 라 두면, <math>d_K=-p</math>
-* 준동형사상 $\chi \colon(\mathbb{Z}/d_K\mathbb{Z})^\times \to \mathbb C^{\times}$, <math>\chi(a)=\left(\frac{a}{p}\right)</math> 를 정의하자.
+* 준동형사상 <math>\chi \colon(\mathbb{Z}/d_K\mathbb{Z})^\times \to \mathbb C^{\times}</math>, <math>\chi(a)=\left(\frac{a}{p}\right)</math> 를 정의하자.
 * <math>p \equiv 3 \pmod{4}</math> 이므로  <math>\chi(-1)=-1</math>이고, [[디리클레 L-함수]]에서 다음을 얻는다
 :<math>L(1,\chi)=\frac{i\pi \tau(\chi)}{p}\sum_{a=1}^{p-1}\bar\chi(a)\frac{a}{p}=\frac{i\pi \tau(\chi)}{p}\sum_{a=1}^{p-1}\chi(a)\frac{a}{p}</math>
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 * [[가우스 합]]은 <math>\tau (\chi)=i\sqrt p</math> 이므로 위의 두 값을 비교하면,
 :<math>h_K=\frac{\sqrt p }{\pi}\frac{i\pi\tau(\chi)}{p}\sum_{a=1}^{p-1}\chi(a)\frac{a}{p}=-\sum_{a=1}^{p-1}(\frac{a}{p})\frac{a}{p}</math>
-* $p=3$이면 $-\sum_{a=1}^{p-1}(\frac{a}{p})a=-1+2=1$
+* <math>p=3</math>이면 <math>-\sum_{a=1}^{p-1}(\frac{a}{p})a=-1+2=1</math>
-* 이로부터 소수 <math>p \equiv 3 \pmod{4}</math>에 대하여 기약잉여계 $\{1,2,\cdots, p-1\}$에서의 이차비잉여의 합이 이차잉여의 합보다 크다는 것을 알 수 있다.
+* 이로부터 소수 <math>p \equiv 3 \pmod{4}</math>에 대하여 기약잉여계 <math>\{1,2,\cdots, p-1\}</math>에서의 이차비잉여의 합이 이차잉여의 합보다 크다는 것을 알 수 있다.
-* $p \equiv 1 \pmod{4}$이면, 다음이 성립한다
+* <math>p \equiv 1 \pmod{4}</math>이면, 다음이 성립한다
-$$
+:<math>
 \sum_{a=1}^{p-1}(\frac{a}{p})a=0
-$$
+</math>

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 ==매스매티카 파일 및 계산 리소스==
 * https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxOFlYclVld0swX1k/edit
 [[분류:초등정수론]]
 [[분류:정수론]]