이차잉여의 상호법칙 - 편집 역사

2021년 2월 17일 (수) 12:57에 Pythagoras0님의 편집

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Pythagoras0: /* 메타데이터 */ 새 문단

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메타데이터: 새 문단

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 [[분류:정수론]]
-== 메타데이터 ==
+==메타데이터==
 ===위키데이터===
 * ID :  [https://www.wikidata.org/wiki/Q878259 Q878259]

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	[[분류:초등정수론]]		[[분류:초등정수론]]
	[[분류:정수론]]		[[분류:정수론]]
		+
		+	== 메타데이터 ==
		+
		+	===위키데이터===
		+	* ID : [https://www.wikidata.org/wiki/Q878259 Q878259]

@@ 1번째 줄: / 1번째 줄: @@
 ==개요==
-* 정수 $a$를 소수 $p$로 나눈 나머지가 어떤 완전제곱수를 $p$로 나눈 나머지와 같으면 $p$에 대한 [[이차잉여]]라 한다
+* 정수 <math>a</math>를 소수 <math>p</math>로 나눈 나머지가 어떤 완전제곱수를 <math>p</math>로 나눈 나머지와 같으면 <math>p</math>에 대한 [[이차잉여]]라 한다
-* 소수 $p$에 대하여, 이차합동식 <math>x^2\equiv a \pmod p</math> 의 해의 개수에 관련된 문제로 볼 수 있다
+* 소수 <math>p</math>에 대하여, 이차합동식 <math>x^2\equiv a \pmod p</math> 의 해의 개수에 관련된 문제로 볼 수 있다
-* 두 홀수인 소수 $p,q$가 서로의 법에 대한 이차잉여가 될 조건은 긴밀히 연관되어 있으며, 이를 이차잉여의 상호법칙이라 한다
+* 두 홀수인 소수 <math>p,q</math>가 서로의 법에 대한 이차잉여가 될 조건은 긴밀히 연관되어 있으며, 이를 이차잉여의 상호법칙이라 한다
 * 정수론의 중심적인 주제인 [[정수론에서의 상호법칙 (reciprocity laws)]]의 시작
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 ===테이블===
 * 처음 몇개의 소수에 대한 이차잉여와 비이차잉여
-$$
+:<math>
 \begin{array}{c|c|c}
   \text{} & \text{quadratic residue} & \text{quadratic nonresidue} \\
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 & \{1,4,5,6,7,9,13,16,20,22,23,24,25,28\} & \{2,3,8,10,11,12,14,15,17,18,19,21,26,27\}
 \end{array}
-$$
+</math>
 * [[이차잉여]] 항목 참조
 ==르장드르 부호==
-* 정수 $a$와 홀수인 소수 $p$ 에 대하여, 르장드르 부호를 다음과 같이 정의한다
+* 정수 <math>a</math>와 홀수인 소수 <math>p</math> 에 대하여, 르장드르 부호를 다음과 같이 정의한다
 :<math>\left(\frac{a}{p}\right)  =  \begin{cases} \;\;\,0\mbox{ if } a \equiv 0 \pmod{p} \\+1\mbox{ if }a \not\equiv 0\pmod{p} \mbox{ and for some integer }x, \;a\equiv x^2\pmod{p} \\-1\mbox{ if there is no such } x.  \end{cases}</math>
 * [[르장드르 부호와 자코비 부호]] 항목 참조
 ===테이블===
-* 처음 몇 개의 소수들에 대한 르장드르 부호 $\left(\frac{y}{x}\right)$의 계산
+* 처음 몇 개의 소수들에 대한 르장드르 부호 <math>\left(\frac{y}{x}\right)</math>의 계산
-$$
+:<math>
 \begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
   x\ddots y & 3 & 5 & 7 & 11 & 13 & 17 & 19 & 23 & 29 & 31 & 37 & 41 & 43 & 47 & 53 \\ \hline
@@ 63번째 줄: / 63번째 줄: @@
 & -1 & -1 & 1 & 1 & 1 & 1 & -1 & -1 & 1 & -1 & 1 & -1 & 1 & 1 &
 \end{array}
-$$
+</math>
 ==이차잉여의 상호법칙==
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 ===상호법칙===
 ;정리
-홀수인 서로 다른 소수 $p, q$에 대하여,
+홀수인 서로 다른 소수 <math>p, q</math>에 대하여,
 :<math>\left(\frac{p}{q}\right) \left(\frac{q}{p}\right) = (-1)^{(p-1)(q-1)/4}</math>
 또는
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 ;정리
-$p\nmid 2n$인 모든 소수에 대하여 $\left(\frac{n}{p}\right)=\chi(p)$를 만족하는 준동형사상 $\chi:(\mathbb{Z}/4n\mathbb{Z})^{\times}→\{1,−1\}$가 존재한다
+<math>p\nmid 2n</math>인 모든 소수에 대하여 <math>\left(\frac{n}{p}\right)=\chi(p)</math>를 만족하는 준동형사상 <math>\chi:(\mathbb{Z}/4n\mathbb{Z})^{\times}→\{1,−1\}</math>가 존재한다
@@ 138번째 줄: / 138번째 줄: @@
 * Avner Ash, Robert Gross [http://www.amazon.com/Fearless-Symmetry-Exposing-Patterns-Numbers/dp/0691124922 Fearless Symmetry: Exposing the Hidden Patterns of Numbers]
-* [http://www.rzuser.uni-heidelberg.de/%7Ehb3/rec.html Reciprocity Laws. From Euler to Eisenstein]<br>
+* [http://www.rzuser.uni-heidelberg.de/%7Ehb3/rec.html Reciprocity Laws. From Euler to Eisenstein]
 ** Franz Lemmermeyer (Springer, 2000)
-* [http://www.amazon.com/Fourier-Analytic-Proof-Quadratic-Reciprocity/dp/0471358304 The Fourier-Analytic Proof of Quadratic Reciprocity]<br>
+* [http://www.amazon.com/Fourier-Analytic-Proof-Quadratic-Reciprocity/dp/0471358304 The Fourier-Analytic Proof of Quadratic Reciprocity]
 ** Michael C. Berg
@@ 147번째 줄: / 147번째 줄: @@
 ==리뷰, 에세이, 강의노트==
-* Anders Karlsson, [http://www.math.kth.se/%7Eakarl/langmemorial.pdf Applications of heat kernels on abelian groups: $\zeta(2n)$, quadratic reciprocity, Bessel integrals]
+* Anders Karlsson, [http://www.math.kth.se/%7Eakarl/langmemorial.pdf Applications of heat kernels on abelian groups: <math>\zeta(2n)</math>, quadratic reciprocity, Bessel integrals]
 * David A. Cox, [http://www.jstor.org/stable/2322482 Quadratic Reciprocity: Its Conjecture and Application], <cite>The American Mathematical Monthly</cite>, Vol. 95, No. 5 (May, 1988), pp. 442-448
 * Harold M. Edwards, [http://www.jstor.org/stable/2690368 Euler and Quadratic Reciprocity]<cite>Mathematics Magazine</cite>, Vol. 56, No. 5 (Nov., 1983), pp. 285-291

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 다음과 같은 보조 법칙이 성립
 :<math>
-\left(\frac{-1}{p}\right)= (-1)^\frac{p-1}{4},\;\;\;
+\left(\frac{-1}{p}\right)= (-1)^\frac{p-1}{2},\;\;\;
 \left(\frac{2}{p}\right) = (-1)^\frac{p^2-1}{8}.
 </math>

@@ 1번째 줄: / 1번째 줄: @@
 ==개요==
-* 정수 $a$를 소수 $p$로 나눈 나머지가 어떤 완전제곱수를 $p$로 나눈 나머지와 같으면 이차잉여라 한다
+* 정수 $a$를 소수 $p$로 나눈 나머지가 어떤 완전제곱수를 $p$로 나눈 나머지와 같으면 $p$에 대한 [[이차잉여]]라 한다
 * 소수 $p$에 대하여, 이차합동식 <math>x^2\equiv a \pmod p</math> 의 해의 개수에 관련된 문제로 볼 수 있다
 * 두 홀수인 소수 $p,q$가 서로의 법에 대한 이차잉여가 될 조건은 긴밀히 연관되어 있으며, 이를 이차잉여의 상호법칙이라 한다
@@ 34번째 줄: / 34번째 줄: @@
 \end{array}
 $$
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 다음과 같은 보조 법칙이 성립
 :<math>
-\left(\frac{-1}{\alpha}\right)= (-1)^\frac{p-1}{4},\;\;\;
+\left(\frac{-1}{p}\right)= (-1)^\frac{p-1}{4},\;\;\;
-\left(\frac{2}{\alpha}\right) = (-1)^\frac{p^2-1}{8}.
+\left(\frac{2}{p}\right) = (-1)^\frac{p^2-1}{8}.
 </math>

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 또는
 :<math>\left(\frac{p}{q}\right) = \begin{cases}   +\left(\frac{q}{p}\right)\mbox{ if }p\equiv 1 \pmod{4} \mbox{ or } q \equiv 1 \pmod{4} \\-\left(\frac{q}{p}\right)\mbox{ if } p\equiv q \equiv 3 \pmod{4} \end{cases}</math> 형태로 쓸 수도 있음.
+다음과 같은 보조 법칙이 성립
 ;정리

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	또는		또는
	:<math>\left(\frac{p}{q}\right) = \begin{cases} +\left(\frac{q}{p}\right)\mbox{ if }p\equiv 1 \pmod{4} \mbox{ or } q \equiv 1 \pmod{4} \\-\left(\frac{q}{p}\right)\mbox{ if } p\equiv q \equiv 3 \pmod{4} \end{cases}</math> 형태로 쓸 수도 있음.		:<math>\left(\frac{p}{q}\right) = \begin{cases} +\left(\frac{q}{p}\right)\mbox{ if }p\equiv 1 \pmod{4} \mbox{ or } q \equiv 1 \pmod{4} \\-\left(\frac{q}{p}\right)\mbox{ if } p\equiv q \equiv 3 \pmod{4} \end{cases}</math> 형태로 쓸 수도 있음.
		+
		+
		+	;정리
		+	$p\nmid 2n$인 모든 소수에 대하여 $\left(\frac{n}{p}\right)=\chi(p)$를 만족하는 준동형사상 $\chi:(\mathbb{Z}/4n\mathbb{Z})^{\times}→\{1,−1\}$가 존재한다

@@ 1번째 줄: / 1번째 줄: @@
 ==개요==
-* 정수 a를 소수 p로 나눈 나머지가 어떤 완전제곱수를 p로 나눈 나머지와 같으면 이차잉여라 한다
+* 정수 $a$를 소수 $p$로 나눈 나머지가 어떤 완전제곱수를 $p$로 나눈 나머지와 같으면 이차잉여라 한다
-* 소수 p에 대하여, 이차합동식 <math>x^2\equiv a \pmod p</math> 의 해의 개수에 관련된 문제로 볼 수 있다
+* 소수 $p$에 대하여, 이차합동식 <math>x^2\equiv a \pmod p</math> 의 해의 개수에 관련된 문제로 볼 수 있다
+* 두 홀수인 소수 $p,q$가 서로의 법에 대한 이차잉여가 될 조건은 긴밀히 연관되어 있으며, 이를 이차잉여의 상호법칙이라 한다
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 ===예===
 * [[합동식 (모듈로 modulo 연산)]]
-*  소수 3에 대한 이차잉여<br>
+*  소수 3에 대한 이차잉여
 ** 3으로 나눈 나머지가 1인수
-*  소수 5에 대한 이차잉여<br>
+*  소수 5에 대한 이차잉여
 ** 5로 나눈 나머지가 1 또는 4
 ===테이블===
-\begin{array}{c|c}
+* 처음 몇개의 소수에 대한 이차잉여과 비이차잉여
-  p & \text{quadratic residue} \\
+$$
 \hline
-& \{1\} \\
+& \{1\} & \{\} \\
-& \{1\} \\
+& \{1\} & \{2\} \\
-& \{1,4\} \\
+& \{1,4\} & \{2,3\} \\
-& \{1,2,4\} \\
+& \{1,2,4\} & \{3,5,6\} \\
-& \{1,3,4,5,9\} \\
+& \{1,3,4,5,9\} & \{2,6,7,8,10\} \\
-& \{1,3,4,9,10,12\} \\
+& \{1,3,4,9,10,12\} & \{2,5,6,7,8,11\} \\
-& \{1,2,4,8,9,13,15,16\} \\
+& \{1,2,4,8,9,13,15,16\} & \{3,5,6,7,10,11,12,14\} \\
-& \{1,4,5,6,7,9,11,16,17\} \\
+& \{1,4,5,6,7,9,11,16,17\} & \{2,3,8,10,12,13,14,15,18\} \\
-& \{1,2,3,4,6,8,9,12,13,16,18\} \\
+& \{1,2,3,4,6,8,9,12,13,16,18\} & \{5,7,10,11,14,15,17,19,20,21,22\} \\
-& \{1,4,5,6,7,9,13,16,20,22,23,24,25,28\} \\
+& \{1,4,5,6,7,9,13,16,20,22,23,24,25,28\} & \{2,3,8,10,11,12,14,15,17,18,19,21,26,27\}
 \end{array}
+$$
-=='상호법칙 (reciprocity law)'이란==
+==이차잉여의 상호법칙==
 * 문제 : 정수계수 다항식 <math>f(x)</math>를 <math>\pmod p</math>로 생각할 때 어떻게 인수분해되는가
@@ 39번째 줄: / 74번째 줄: @@
 * [[정수론에서의 상호법칙 (reciprocity laws)]] 항목 참조
+===상호법칙===
 ;정리
-홀수인 서로 다른 소수 p, q에 대하여,
+홀수인 서로 다른 소수 $p, q$에 대하여,
 :<math>\left(\frac{p}{q}\right) \left(\frac{q}{p}\right) = (-1)^{(p-1)(q-1)/4}</math>
 또는
 :<math>\left(\frac{p}{q}\right) = \begin{cases}   +\left(\frac{q}{p}\right)\mbox{ if }p\equiv 1 \pmod{4} \mbox{ or } q \equiv 1 \pmod{4} \\-\left(\frac{q}{p}\right)\mbox{ if } p\equiv q \equiv 3 \pmod{4} \end{cases}</math> 형태로 쓸 수도 있음.
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 * 1796년 가우스에 의해 처음으로 증명
 * [[수학사 연표]]
@@ 87번째 줄: / 116번째 줄: @@
 ==매스매티카 파일 및 계산 리소스==
 ==사전 형태의 자료==

@@ 3번째 줄: / 3번째 줄: @@
 * 정수 a를 소수 p로 나눈 나머지가 어떤 완전제곱수를 p로 나눈 나머지와 같으면 이차잉여라 한다
 * 소수 p에 대하여, 이차합동식 <math>x^2\equiv a \pmod p</math> 의 해의 개수에 관련된 문제로 볼 수 있다
@@ 36번째 줄: / 34번째 줄: @@
 * 문제 : 정수계수 다항식 <math>f(x)</math>를 <math>\pmod p</math>로 생각할 때 어떻게 인수분해되는가
 * 인수분해되는 방식에 따라서 <math>p</math>가 만족시키는 조건을 기술하는 것이 '상호법칙'
-* <math>f(x)=x^2-5</math>라면,  홀수인 <math>p</math>에 대하여 이차잉여의 상호법칙을 사용하여 다음을 확인할 수 있다:<math>p\equiv 1,4 \pmod 5</math> 인 경우, <math>f (x) \pmod p</math> 는 두 개의 일차식으로 분해됨:<math>p\equiv 2,3 \pmod 5</math> 인 경우, <math>f (x) \pmod p</math> 는 분해되지 않음<br>
+* <math>f(x)=x^2-5</math>라면,  홀수인 <math>p</math>에 대하여 이차잉여의 상호법칙을 사용하여 다음을 확인할 수 있다
 * [[정수론에서의 상호법칙 (reciprocity laws)]] 항목 참조
@@ 46번째 줄: / 44번째 줄: @@
 * [[르장드르 부호와 자코비 부호]]
+:<math>\left(\frac{a}{p}\right)  =  \begin{cases} \;\;\,0\mbox{ if } a \equiv 0 \pmod{p} \\+1\mbox{ if }a \not\equiv 0\pmod{p} \mbox{ and for some integer }x, \;a\equiv x^2\pmod{p} \\-1\mbox{ if there is no such } x.  \end{cases}</math>
 ==이차잉여의 상호법칙==
+;정리
 홀수인 서로 다른 소수 p, q에 대하여,
 :<math>\left(\frac{p}{q}\right) \left(\frac{q}{p}\right) = (-1)^{(p-1)(q-1)/4}</math>
@@ 82번째 줄: / 77번째 줄: @@
 ==관련된 항목들==
-* [[가우스 합|가우스합]]
+* [[가우스 합]]
 * [[정수론에서의 상호법칙 (reciprocity laws)]]
 * [[등차수열의 소수분포에 관한 디리클레 정리]]
 * [[이차 수체에 대한 디리클레 class number 공식]]
 * [[프로베니우스와 체보타레프 밀도(density) 정리]]
 * [[자코비 세타함수]]
@@ 119번째 줄: / 112번째 줄: @@
-==관련논문==
+==리뷰, 에세이, 강의노트==
 * Anders Karlsson, [http://www.math.kth.se/%7Eakarl/langmemorial.pdf Applications of heat kernels on abelian groups: $\zeta(2n)$, quadratic reciprocity, Bessel integrals]
-* [http://www.jstor.org/stable/2322482 Quadratic Reciprocity: Its Conjecture and Application]<br>
+* David A. Cox, [http://www.jstor.org/stable/2322482 Quadratic Reciprocity: Its Conjecture and Application], <cite>The American Mathematical Monthly</cite>, Vol. 95, No. 5 (May, 1988), pp. 442-448
 * Harold M. Edwards, [http://www.jstor.org/stable/2690368 Euler and Quadratic Reciprocity]<cite>Mathematics Magazine</cite>, Vol. 56, No. 5 (Nov., 1983), pp. 285-291
-* [http://www.jstor.org/stable/2690080 Why Study Equations over Finite Fields?]<br>
+* Neal Koblitz, [http://www.jstor.org/stable/2690080 Why Study Equations over Finite Fields?] <cite>Mathematics Magazine</cite>, Vol. 55, No. 3 (May, 1982), pp. 144-149
-** Neal Koblitz, <cite>Mathematics Magazine</cite>, Vol. 55, No. 3 (May, 1982), pp. 144-149
+* B. F. Wyman,  [http://www.jstor.org/stable/2317083 What is a Reciprocity Law?] <cite style="line-height: 2em;">The American Mathematical Monthly</cite>, Vol. 79, No. 6 (Jun. - Jul., 1972), pp. 571-586
-* [http://www.jstor.org/stable/2317083 What is a Reciprocity Law?]<br>
+* Albert Leon Whiteman [http://www.jstor.org/stable/3219217 Theorems on Quadratic Residues], <cite style="line-height: 2em;">Mathematics Magazine</cite>, Vol. 23, No. 2 (Nov. - Dec., 1949), pp. 71-74
 [[분류:초등정수론]]
 [[분류:정수론]]