1차원 가우시안 적분 - 편집 역사

2021년 2월 17일 (수) 11:57에 Pythagoras0님의 편집

2021-02-17T11:57:25Z

Pythagoras0: /* 메타데이터 */ 새 문단

2020-12-28T13:39:57Z

메타데이터: 새 문단

2020년 12월 28일 (월) 10:02에 Pythagoras0님의 편집

2020-12-28T10:02:21Z

2020년 11월 13일 (금) 06:24에 Pythagoras0님의 편집

2020-11-13T06:24:43Z

2020년 11월 12일 (목) 09:29에 Pythagoras0님의 편집

2020-11-12T09:29:56Z

Pythagoras0: /* 일반화 */

2015-08-15T08:24:22Z

일반화

Pythagoras0: /* 일반화 */

2015-08-15T08:22:46Z

일반화

2013년 3월 26일 (화) 09:42에 Pythagoras0님의 편집

2013-03-26T09:42:49Z

2013년 3월 14일 (목) 22:43에 Pythagoras0님의 편집

2013-03-14T22:43:08Z

Pythagoras0: /* 일반화 */

2013-03-14T22:40:37Z

일반화

@@ 163번째 줄: / 163번째 줄: @@
 [[분류:적분]]
-== 메타데이터 ==
+==메타데이터==
 ===위키데이터===
 * ID :  [https://www.wikidata.org/wiki/Q1060321 Q1060321]

← 이전 판		2020년 12월 28일 (월) 13:39 판
162번째 줄:		162번째 줄:
	[[분류:목록]]		[[분류:목록]]
	[[분류:적분]]		[[분류:적분]]
		+
		+	== 메타데이터 ==
		+
		+	===위키데이터===
		+	* ID : [https://www.wikidata.org/wiki/Q1060321 Q1060321]

@@ 9번째 줄: / 9번째 줄: @@
 ** [[부정적분의 초등함수 표현(Integration in finite terms)]] 항목을 참조
 * 부정적분을 초등함수로 표현할 수 없으나 <math>(-\infty,\infty)</math> 에서의 정적분을 계산할 수 있다.
-* 가우시안 적분은 유리수에서의 [[감마함수]]의 값으로 표현할 수 있다
+* 가우시안 적분은 유리수에서의 [[감마함수]]의 값으로 표현할 수 있다
 * 1차항이 있는 경우의 가우시안 적분은 다음과 같이 주어진다
 :<math>
@@ 16번째 줄: / 16번째 줄: @@
 ==극좌표 치환을 이용한 계산==
-* [[극좌표계]]로의 치환 <math>x = r \cos \theta, y = r \sin \theta</math>을 이용하여 다음을 얻는다
+* [[극좌표계]]로의 치환 <math>x = r \cos \theta, y = r \sin \theta</math>을 이용하여 다음을 얻는다
 :<math>
 \begin{aligned}
@@ 29번째 줄: / 29번째 줄: @@
 :<math>\int\int_{\mathbb{R}^2}e^{-x^2-y^2}dA= \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2-y^2}dxdy=(\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}dx)(\int_{-\infty}^{\infty} e^{-y^2}dy)=(\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}dx)^2</math>
 로부터, <math>\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}dx =\sqrt{\pi}</math>을 얻는다.
-<math>x=\frac{t}{\sqrt{2}}</math> 로 치환하면, 다음을 얻는다.
+<math>x=\frac{t}{\sqrt{2}}</math> 로 치환하면, 다음을 얻는다.
 :<math>\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\frac{x^2}{2}}dx=\sqrt{2\pi}</math>
@@ 37번째 줄: / 37번째 줄: @@
 * [[감마함수]]를 이용하여 가우시안 적분을 표현할 수 있다:<math>\Gamma(s) = \int_0^\infty e^{-t} t^{s} \frac{dt}{t}</math>:<math>2\int_{0}^{\infty}e^{-x^2}dx= \int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}dx =\sqrt{\pi}</math>
 * <math>x=\sqrt{t}</math>로 치환하면,:<math>2\int_{0}^{\infty}e^{-x^2}dx= \int_0^\infty e^{-t} \ t^{-1/2} dt \, = \, \Gamma\left(\frac{1}{2}\right)</math> 를 얻는다. 따라서:<math>\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi}</math>
-*  더 일반적으로, 다음이 성립한다. :<math>\int_{0}^{\infty}x^{n}e^{-x^2}dx=\frac{1}{2}\Gamma(\frac{n+1}{2})</math>:<math>\int_{0}^{\infty}x^{n}e^{-x^m}dx=\frac{1}{m}\Gamma(\frac{n+1}{m})</math>
+*  더 일반적으로, 다음이 성립한다. :<math>\int_{0}^{\infty}x^{n}e^{-x^2}dx=\frac{1}{2}\Gamma(\frac{n+1}{2})</math>:<math>\int_{0}^{\infty}x^{n}e^{-x^m}dx=\frac{1}{m}\Gamma(\frac{n+1}{m})</math>
@@ 82번째 줄: / 82번째 줄: @@
 </math>
-−
 ==고차원에서 가우시안 적분==
-* A : 양의 정부호인 nxn 대칭행렬
+* A : 양의 정부호인 nxn 대칭행렬
 * 가우시안 적분
 :<math>\int_{\mathbb{R}^n}e^{-\mathbf{x}^TA\mathbf{x}}d\mathbf{x}=\frac{\pi^{n/2}}{\sqrt{\det{A}}}</math>
 * [[n차원 가우시안 적분]] 항목 참조
-−
-−
 ==역사==
@@ 97번째 줄: / 97번째 줄: @@
 * [[수학사 연표]]
-−
-−
-−
 ==재미있는 사실==
@@ 109번째 줄: / 109번째 줄: @@
 http://zapatopi.net/kelvin/quotes/#math
-−
-−
 ==메모==
@@ 121번째 줄: / 121번째 줄: @@
 계수에서 등장하는 <math>\sqrt{2\pi}</math> 는, 확률밀도함수의 정규화(전사건의 확률이 1이 되도록 해 주는 것)를 위한 것이다. 즉, <math>e^{- \frac{x^2}{2\sigma^2}}</math> 를 실수 전체에서 적분하면 <math>\sqrt{2\pi}\sigma</math> 가 된다.
-−
-−
 ==관련된 항목들==
@@ 130번째 줄: / 130번째 줄: @@
 * [[파이가 아니라 2파이다?]]
-−
-−
-−
 ==매스매티카 파일 및 계산 리소스==
@@ 142번째 줄: / 142번째 줄: @@
 ** http://people.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_931.htm
 * http://www.wolframalpha.com/input/?i=Gaussian
-−
-−
-==사전 형태의 자료==
+==사전 형태의 자료==
 * http://ko.wikipedia.org/wiki/
@@ 152번째 줄: / 152번째 줄: @@
 * http://en.wikipedia.org/wiki/Gaussian_function
-−

@@ 36번째 줄: / 36번째 줄: @@
 * [[감마함수]]를 이용하여 가우시안 적분을 표현할 수 있다:<math>\Gamma(s) = \int_0^\infty e^{-t} t^{s} \frac{dt}{t}</math>:<math>2\int_{0}^{\infty}e^{-x^2}dx= \int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}dx =\sqrt{\pi}</math>
-* <math>x=\sqrt{t}</math>로 치환하면,:<math>2\int_{0}^{\infty}e^{-x^2}dx= \int_0^\infty e^{-t} \ t^{-1/2} dt \, = \, \Gamma\left(\frac{1}{2}\right)</math><br> 를 얻는다. 따라서:<math>\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi}</math><br>
+* <math>x=\sqrt{t}</math>로 치환하면,:<math>2\int_{0}^{\infty}e^{-x^2}dx= \int_0^\infty e^{-t} \ t^{-1/2} dt \, = \, \Gamma\left(\frac{1}{2}\right)</math> 를 얻는다. 따라서:<math>\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi}</math>
-*  더 일반적으로, 다음이 성립한다. :<math>\int_{0}^{\infty}x^{n}e^{-x^2}dx=\frac{1}{2}\Gamma(\frac{n+1}{2})</math>:<math>\int_{0}^{\infty}x^{n}e^{-x^m}dx=\frac{1}{m}\Gamma(\frac{n+1}{m})</math><br>
+*  더 일반적으로, 다음이 성립한다. :<math>\int_{0}^{\infty}x^{n}e^{-x^2}dx=\frac{1}{2}\Gamma(\frac{n+1}{2})</math>:<math>\int_{0}^{\infty}x^{n}e^{-x^m}dx=\frac{1}{m}\Gamma(\frac{n+1}{m})</math>

@@ 11번째 줄: / 11번째 줄: @@
 * 가우시안 적분은 유리수에서의 [[감마함수]]의 값으로 표현할 수 있다
 * 1차항이 있는 경우의 가우시안 적분은 다음과 같이 주어진다
-$$
+:<math>
 \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{1}{2}ax^2+bx} dx=\sqrt{ \frac{2\pi}{a}}e^{\frac{b^2}{2a}}
-$$
+</math>
 ==극좌표 치환을 이용한 계산==
@@ 43번째 줄: / 43번째 줄: @@
 ==일반화==
-* 정수 $n\ge 0$에 대하여,
+* 정수 <math>n\ge 0</math>에 대하여,
-$$
+:<math>
 \begin{aligned}
 \int_{-\infty}^{\infty}x^n e^{-\frac{a x^2}{2}}\,dx=& \left[\left(\frac{\partial}{\partial b }\right )^n \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{a x^2}{2}+b x}\,dx\right]_{b=0}\\
 {}=& \sqrt{\frac{2\pi}{a}}\left[\left(\frac{\partial}{\partial b }\right )^n e^{\frac{b^2}{2a}}\right]_{b=0}
 \end{aligned}
-$$
+</math>
 * [[윅 정리 (Wick theorem)]] 참조
 * 테이블은 다음과 같다
-$$
+:<math>
 \begin{array}{c|c}
   n & \sqrt{\frac{a}{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty}x^n e^{-\frac{a x^2}{2}}\,dx  \\
@@ 76번째 줄: / 76번째 줄: @@
 & 0 \\
 \end{array}
-$$
+</math>
 * 다음이 성립한다
-$$
+:<math>
 \int_{-\infty}^{\infty}x^{2n} e^{-\frac{a x^2}{2}}\,dx=\frac{(2n-1)(2n-3)\cdots 1}{a^n}
-$$
+</math>

← 이전 판		2013년 3월 26일 (화) 09:42 판
156번째 줄:		156번째 줄:
	[[분류:원주율]]		[[분류:원주율]]
	[[분류:목록]]		[[분류:목록]]
		+	[[분류:적분]]

@@ 126번째 줄: / 126번째 줄: @@
@@ 143번째 줄: / 134번째 줄: @@
 * https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxRWwzSzctR1gxdlU/edit
 * [http://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions]
-* [http://people.math.sfu.ca/%7Ecbm/aands/toc.htm Abramowitz and Stegun Handbook of mathematical functions]
+** http://people.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_931.htm
-* [http://www.research.att.com/%7Enjas/sequences/index.html The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences]
+* http://www.wolframalpha.com/input/?i=Gaussian
@@ 160번째 줄: / 146번째 줄: @@
 * http://en.wikipedia.org/wiki/Gaussian_integral
 * http://en.wikipedia.org/wiki/Gaussian_function
 ==블로그==