2-term 다이로그 항등식 (dilogarithm identities) 과 행렬 - 편집 역사

2020년 12월 28일 (월) 09:48에 Pythagoras0님의 편집

2020-12-28T09:48:13Z

2020년 11월 16일 (월) 11:53에 Pythagoras0님의 편집

2020-11-16T11:53:36Z

2013년 8월 12일 (월) 17:15에 Pythagoras0님의 편집

2013-08-12T17:15:31Z

Pythagoras0: /* 관련논문 */

2013-08-12T15:27:36Z

2013년 8월 9일 (금) 12:44에 Pythagoras0님의 편집

2013-08-09T12:44:58Z

2013년 8월 9일 (금) 08:45에 Pythagoras0님의 편집

2013-08-09T08:45:12Z

Pythagoras0: 찾아 바꾸기 – “수학사연표” 문자열을 “수학사 연표” 문자열로

2013-01-14T19:07:47Z

찾아 바꾸기 – “수학사연표” 문자열을 “수학사 연표” 문자열로

Pythagoras0: 찾아 바꾸기 – “
$” 문자열을 “: ” 문자열로$

2013-01-12T17:02:17Z

찾아 바꾸기 – “<br><math>” 문자열을 “:<math>” 문자열로

2012년 11월 2일 (금) 23:01에 Pythagoras0님의 편집

2012-11-02T23:01:29Z

Pythagoras0: 찾아 바꾸기 – “==관련도서== * 도서내검색
http://books.google.com/books?q= http://book.daum.net/search/contentSearch.do?query=” 문자열을 “” 문자열로

2012-11-02T15:27:47Z

찾아 바꾸기 – “==관련도서== * 도서내검색<br> ** http://books.google.com/books?q= ** http://book.daum.net/search/contentSearch.do?query=” 문자열을 “” 문자열로

@@ 88번째 줄: / 88번째 줄: @@
 ==메모==
-−
 * Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=
-−
-−
 ==관련된 항목들==
@@ 102번째 줄: / 102번째 줄: @@
 ==매스매티카 파일 및 계산 리소스==
 * https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxeWplbkFwR0RPWlU/edit
-−
 ==리뷰논문, 에세이, 강의노트==
-−
-−
 ==관련논문==
@@ 116번째 줄: / 116번째 줄: @@
 * Terhoeven thesis http://www.th.physik.uni-bonn.de/th/Database/Doktor/terhoeven.ps.gz
-−
 [[분류:다이로그]]

@@ 3번째 줄: / 3번째 줄: @@
 * [[다이로그 항등식 (dilogarithm identities)]]
 *  2x2 행렬:<math>A=\left( \begin{array}{cc} a & b \\ b & c \end{array} \right)</math>에 대해서 다음과 같은 연립방정식을 생각
-$$
+:<math>
 \left\{
 \begin{array}{c}
@@ 10번째 줄: / 10번째 줄: @@
 <x_i<1, \, i=1,2
 \end{array}
-\right.$$
+\right.</math>
 *  [[로저스 다이로그 함수 (Rogers' dilogarithm)]] 가 적당한 유리수 <math>r_A</math>에 대하여 다음을 만족하는 행렬을 분류하는 문제:<math>L(x_ 1)+L(x_ 2)=r_{A}L(1)</math>
@@ 17번째 줄: / 17번째 줄: @@
 ==쌍대성==
-*  두 2x2 행렬 A , B 가 서로 역행렬일때,<br>
+*  두 2x2 행렬 A , B 가 서로 역행렬일때,
-* <math>L(x)+L(1-x)=2L(1)</math>:<math>\log (1-x)=A\log x</math>:<math>\log x=A^{-1}\log (1-x)</math><br>
+* <math>L(x)+L(1-x)=2L(1)</math>:<math>\log (1-x)=A\log x</math>:<math>\log x=A^{-1}\log (1-x)</math>
@@ 27번째 줄: / 27번째 줄: @@
 :<math> \begin{bmatrix} a & 2-a \\ 2-a & a \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} a & 1-a \\ 1-a & a \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} a & 1/2-a \\ 1/2-a & a \end{bmatrix},\begin{bmatrix} a & -a \\ -a & a \end{bmatrix}</math>
 *  complete list of the form <math> \begin{bmatrix} 2a & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}</math>
-:<math> \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix},\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 2 & 1  \\ 1 & 1 \end{bmatrix},\begin{bmatrix} 4 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} \infty & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}</math><br>
+:<math> \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix},\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 2 & 1  \\ 1 & 1 \end{bmatrix},\begin{bmatrix} 4 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} \infty & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}</math>
-*  M(3,5):<math>\left[ \begin{array}{cc}  5/2 & 2 \\  2 & 2 \end{array} \right]</math><br>
+*  M(3,5):<math>\left[ \begin{array}{cc}  5/2 & 2 \\  2 & 2 \end{array} \right]</math>
-*  M(3,4):<math> \begin{bmatrix} 4 & 3 \\ 3 & 3 \end{bmatrix},\begin{bmatrix} 8 & 3 \\ 3 & 2 \end{bmatrix}</math><br>
+*  M(3,4):<math> \begin{bmatrix} 4 & 3 \\ 3 & 3 \end{bmatrix},\begin{bmatrix} 8 & 3 \\ 3 & 2 \end{bmatrix}</math>
-*  M(2,5):<math> \begin{bmatrix} 8 & 5 \\ 5 & 4 \end{bmatrix}</math><br>
+*  M(2,5):<math> \begin{bmatrix} 8 & 5 \\ 5 & 4 \end{bmatrix}</math>
-*  M(6,7):<math> \begin{bmatrix} 4/3 & 1/3 \\ 1/3 & 2/3 \end{bmatrix}</math><br>
+*  M(6,7):<math> \begin{bmatrix} 4/3 & 1/3 \\ 1/3 & 2/3 \end{bmatrix}</math>
-*  d=0 case (not positive definite):<math> \begin{bmatrix} 1/2 & 1/2 \\ 1/2 & 0 \end{bmatrix},\begin{bmatrix} 8/9 & 1/3 \\ 1/3 & 0 \end{bmatrix}</math><br>
+*  d=0 case (not positive definite):<math> \begin{bmatrix} 1/2 & 1/2 \\ 1/2 & 0 \end{bmatrix},\begin{bmatrix} 8/9 & 1/3 \\ 1/3 & 0 \end{bmatrix}</math>
 ==예==
-* 다음 행렬 $$\begin{bmatrix} 4 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$$에 대응되는 다이로그 항등식
+* 다음 행렬 :<math>\begin{bmatrix} 4 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}</math>에 대응되는 다이로그 항등식
-$$
+:<math>
 L\left(\sqrt{\frac{1}{2} \left(\sqrt{5}-1\right)}\right)+L\left(\frac{1}{2} \left(-2 \sqrt{2+\sqrt{5}}+\sqrt{5}+3\right)\right)=\frac{13}{10}L(1)
-$$
+</math>
 을 증명하려 한다
 * 방정식
-$$
+:<math>
 \left\{
 \begin{array}{c}
@@ 51번째 줄: / 51번째 줄: @@
 <x_i<1, \, i=1,2
 \end{array}
-\right.$$
+\right.</math>
-의 해는 $x_1=y, x_2=\frac{1}{1+y}$로 주어진다. 여기서 $0<y<1$는 $y^4+y^2-1=0$의 해
+의 해는 <math>x_1=y, x_2=\frac{1}{1+y}</math>로 주어진다. 여기서 <math>0<y<1</math>는 <math>y^4+y^2-1=0</math>의 해
 * [[5항 관계식 (5-term relation)]]
-$$
+:<math>
 L(u)+L(v)=L(u v)+L(\frac{u(1-v)}{1-u v})+L(\frac{v(1-u)}{1-u v})
-$$
+</math>
-에 $u=y, v=\frac{1}{1+y}$을 적용하면,
+에 <math>u=y, v=\frac{1}{1+y}</math>을 적용하면,
-$$
+:<math>
 L(y)+L (\frac{1}{1+y})=L(\frac{y}{y+1})+L(y^2)+L(1-y) \label{y5}
-$$
+</math>
 * [[함수 다이로그 항등식(functional dilogarithm identity)]]
-$$
+:<math>
 L(x)+L(1-x)=L(1)
-$$
+</math>
 을 이용하면, \ref{y5}로부터 다음을 얻는다
-$$
+:<math>
 L(y)+2L (\frac{1}{1+y})=2L(1)+L(y^2)
-$$
+</math>
-* $y^2=\frac{1}{2} \left(\sqrt{5}-1\right)$이므로, $L(\frac{-1+\sqrt{5}}{2})=\frac{3}{5}L(1)$
+* <math>y^2=\frac{1}{2} \left(\sqrt{5}-1\right)</math>이므로, <math>L(\frac{-1+\sqrt{5}}{2})=\frac{3}{5}L(1)</math>
 * 따라서,
-$$
+:<math>
 L(y)+L (\frac{1}{1+y})=L(1)+\frac{3}{10}L(1)=\frac{13}{10}L(1)
-$$
+</math>

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	* d=0 case (not positive definite):<math> \begin{bmatrix} 1/2 & 1/2 \\ 1/2 & 0 \end{bmatrix},\begin{bmatrix} 8/9 & 1/3 \\ 1/3 & 0 \end{bmatrix}</math><br>		* d=0 case (not positive definite):<math> \begin{bmatrix} 1/2 & 1/2 \\ 1/2 & 0 \end{bmatrix},\begin{bmatrix} 8/9 & 1/3 \\ 1/3 & 0 \end{bmatrix}</math><br>

		+
		+	==예==
		+	* 다음 행렬 $$\begin{bmatrix} 4 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$$에 대응되는 다이로그 항등식
		+	$$
		+	L\left(\sqrt{\frac{1}{2} \left(\sqrt{5}-1\right)}\right)+L\left(\frac{1}{2} \left(-2 \sqrt{2+\sqrt{5}}+\sqrt{5}+3\right)\right)=\frac{13}{10}L(1)
		+	$$
		+
		+	을 증명하려 한다
		+	* 방정식
		+
		+	$$
		+	\left\{
		+	\begin{array}{c}
		+	1-x_ 1=x_ 1^{4} x_ 2 \\
		+	1-x_ 2=x_ 1 x_ 2 \\
		+	0<x_i<1, \, i=1,2
		+	\end{array}
		+	\right.$$
		+	의 해는 $x_1=y, x_2=\frac{1}{1+y}$로 주어진다. 여기서 $0<y<1$는 $y^4+y^2-1=0$의 해
		+	* [[5항 관계식 (5-term relation)]]
		+	$$
		+	L(u)+L(v)=L(u v)+L(\frac{u(1-v)}{1-u v})+L(\frac{v(1-u)}{1-u v})
		+	$$
		+	에 $u=y, v=\frac{1}{1+y}$을 적용하면,
		+	$$
		+	L(y)+L (\frac{1}{1+y})=L(\frac{y}{y+1})+L(y^2)+L(1-y) \label{y5}
		+	$$
		+	* [[함수 다이로그 항등식(functional dilogarithm identity)]]
		+	$$
		+	L(x)+L(1-x)=L(1)
		+	$$
		+	을 이용하면, \ref{y5}로부터 다음을 얻는다
		+	$$
		+	2L(y)+2L (\frac{1}{1+y})=2L(1)+L(y^2)
		+	$$
		+	* $y^2=\frac{1}{2} \left(\sqrt{5}-1\right)$이므로, $L(\frac{-1+\sqrt{5}}{2})=\frac{3}{5}L(1)$
		+	* 따라서,
		+	$$
		+	L(y)+L (\frac{1}{1+y})=L(1)+\frac{3}{10}L(1)=\frac{13}{10}L(1)
		+	$$

@@ 73번째 줄: / 73번째 줄: @@
 ==관련논문==
+* Bytsko, Andrei G. 1999. “Two-term Dilogarithm Identities Related to Conformal Field Theory.” Letters in Mathematical Physics. A Journal for the Rapid Dissemination of Short Contributions in the Field of Mathematical Physics 50 (3): 213–228. doi:http://dx.doi.org/10.1023/A:1007618823700.
 * Terhoeven thesis http://www.th.physik.uni-bonn.de/th/Database/Doktor/terhoeven.ps.gz
 [[분류:다이로그]]

@@ 24번째 줄: / 24번째 줄: @@
 ==행렬의 예==
-*  complete list of the form:<math> \begin{bmatrix} a & b \\ b & a \end{bmatrix}</math> only a+b = 2,1,1/2,0 allowed:<math> \begin{bmatrix} a & 2-a \\ 2-a & a \end{bmatrix}</math><math> \begin{bmatrix} a & 1-a \\ 1-a & a \end{bmatrix}</math><math> \begin{bmatrix} a & 1/2-a \\ 1/2-a & a \end{bmatrix}</math><math> \begin{bmatrix} a & -a \\ -a & a \end{bmatrix}</math><br>
+*  complete list of the form <math> \begin{bmatrix} a & b \\ b & a \end{bmatrix}</math> only a+b = 2,1,1/2,0 allowed
-*  complete list of the form:<math> \begin{bmatrix} 2a & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}</math><br>  <math> \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}</math><math> \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}</math><math> \begin{bmatrix} 2 & 1  \\ 1 & 1 \end{bmatrix}</math><math> \begin{bmatrix} 4 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}</math><math> \begin{bmatrix} \infty & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}</math><br>
+:<math> \begin{bmatrix} a & 2-a \\ 2-a & a \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} a & 1-a \\ 1-a & a \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} a & 1/2-a \\ 1/2-a & a \end{bmatrix},\begin{bmatrix} a & -a \\ -a & a \end{bmatrix}</math>
 *  M(3,5):<math>\left[ \begin{array}{cc}  5/2 & 2 \\  2 & 2 \end{array} \right]</math><br>
-*  M(3,4):<math> \begin{bmatrix} 4 & 3 \\ 3 & 3 \end{bmatrix}</math><math> \begin{bmatrix} 8 & 3 \\ 3 & 2 \end{bmatrix}</math><br>
+*  M(3,4):<math> \begin{bmatrix} 4 & 3 \\ 3 & 3 \end{bmatrix},\begin{bmatrix} 8 & 3 \\ 3 & 2 \end{bmatrix}</math><br>
 *  M(2,5):<math> \begin{bmatrix} 8 & 5 \\ 5 & 4 \end{bmatrix}</math><br>
 *  M(6,7):<math> \begin{bmatrix} 4/3 & 1/3 \\ 1/3 & 2/3 \end{bmatrix}</math><br>
-*  d=0 case (not positive definite):<math> \begin{bmatrix} 1/2 & 1/2 \\ 1/2 & 0 \end{bmatrix}</math>:<math> \begin{bmatrix} 8/9 & 1/3 \\ 1/3 & 0 \end{bmatrix}</math><br>
+*  d=0 case (not positive definite):<math> \begin{bmatrix} 1/2 & 1/2 \\ 1/2 & 0 \end{bmatrix},\begin{bmatrix} 8/9 & 1/3 \\ 1/3 & 0 \end{bmatrix}</math><br>

@@ 1번째 줄: / 1번째 줄: @@
 ==개요==
@@ 21번째 줄: / 20번째 줄: @@
 * <math>L(x)+L(1-x)=2L(1)</math>:<math>\log (1-x)=A\log x</math>:<math>\log x=A^{-1}\log (1-x)</math><br>
 ==행렬의 예==
@@ 35번째 줄: / 32번째 줄: @@
 *  d=0 case (not positive definite):<math> \begin{bmatrix} 1/2 & 1/2 \\ 1/2 & 0 \end{bmatrix}</math>:<math> \begin{bmatrix} 8/9 & 1/3 \\ 1/3 & 0 \end{bmatrix}</math><br>
 ==역사==
@@ 60번째 줄: / 55번째 줄: @@
 ==관련된 항목들==
 ==리뷰논문, 에세이, 강의노트==
@@ 99번째 줄: / 67번째 줄: @@
@@ 107번째 줄: / 74번째 줄: @@
 * [http://arxiv.org/abs/math-ph/9911012 Two-term dilogarithm identities related to conformal field theory] Andrei G. Bytsko, 1999
 * Terhoeven thesis http://www.th.physik.uni-bonn.de/th/Database/Doktor/terhoeven.ps.gz
 [[분류:다이로그]]

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	* http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=		* http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
−	* [[~~수학사연표 (역사)\|수학사연표~~]]	+	* [[수학사 연표]]

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	+	[[분류:다이로그]]

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−	~~==관련도서==~~
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−	* 도서내검색<br>
−	** http://books.google.com/books?q=
−	** http://book.daum.net/search/contentSearch.do?query=