3차원 공간의 회전과 SO(3) - 편집 역사

2020년 11월 16일 (월) 11:54에 Pythagoras0님의 편집

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Pythagoras0: /* 관련도서 */

2015-08-14T09:57:24Z

2014년 1월 10일 (금) 10:50에 Pythagoras0님의 편집

2014-01-10T10:50:30Z

2014년 1월 8일 (수) 06:54에 Pythagoras0님의 편집

2014-01-08T06:54:01Z

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2014-01-08T06:43:34Z

2013년 11월 4일 (월) 17:58에 Pythagoras0님의 편집

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Pythagoras0: /* 사영표현(projective representation) */

2013-11-04T17:55:59Z

사영표현(projective representation)

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2013-04-21T23:02:19Z

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차이 보기

2013년 3월 24일 (일) 23:00에 Pythagoras0님의 편집

2013-03-24T23:00:21Z

@@ 1번째 줄: / 1번째 줄: @@
 ==개요==
-* $SO(3)$ 3차원의 회전변환들이 이루는 군으로 리 군(Lie group)의 예
+* <math>SO(3)</math> 3차원의 회전변환들이 이루는 군으로 리 군(Lie group)의 예
 * 정다면체의 분류 문제는 유한회전군 분류 문제에 해당
 * 무한소 회전과 리대수 구조
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 ==함수공간에서의 표현==
-* $L^2(\mathbb{R}^3)$에서 다음 정준교환자관계식(canonical commutation relation)이 성립한다
+* <math>L^2(\mathbb{R}^3)</math>에서 다음 정준교환자관계식(canonical commutation relation)이 성립한다
 :<math>
 [\hat{x}_k , \hat{p}_l ] =  \delta_{kl} \label{xp}
 </math>
-여기서 $\hat{x}_k$는 $x_k$를 곱하는 연산자, $\hat p_k$는 미분연산자 $\partial_k:=\partial_{x_k}$
+여기서 <math>\hat{x}_k</math>는 <math>x_k</math>를 곱하는 연산자, <math>\hat p_k</math>는 미분연산자 <math>\partial_k:=\partial_{x_k}</math>
-* 연산자 $L_j  =-\epsilon_{jkl} \hat{x}_k \hat{p}_l$를 생각하자. 즉,
+* 연산자 <math>L_j  =-\epsilon_{jkl} \hat{x}_k \hat{p}_l</math>를 생각하자. 즉,
-$$
+:<math>
 L_1  =\hat{x}_3 \partial_2-\hat{x}_2 \partial_3  \\
 L_2  =\hat{x}_1 \partial_3-\hat{x}_3 \partial_1  \\
 L_3  =\hat{x}_2 \partial_1-\hat{x}_1 \partial_2
-$$
+</math>
 * 이들은 다음의 교환자 관계식을 만족한다
 :<math>[L_i , L_j ] = \epsilon_{ijk} L_k</math>
-* 리대수의 $L^2(\mathbb{R}^3)$에서의 표현을 얻는다
+* 리대수의 <math>L^2(\mathbb{R}^3)</math>에서의 표현을 얻는다
 * 이러한 표현은 [[각운동량의 양자 이론]] 에서 중요한 역할을 한다
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 :<math>f(z)=\frac{z \left(\cos \left(\frac{\theta }{2}\right)+i \omega_z \sin \left(\frac{\theta }{2}\right)\right)+i \omega_x \sin \left(\frac{\theta }{2}\right)-\omega_y \sin \left(\frac{\theta }{2}\right)}{z \left(\omega_y \sin \left(\frac{\theta }{2}\right)+i \omega_x \sin \left(\frac{\theta }{2}\right)\right)-i \omega_z \sin \left(\frac{\theta }{2}\right)+\cos \left(\frac{\theta }{2}\right)}</math>
 * 벡터공간이 아닌 1차원 복소사영공간에 정의되므로, 사영표현(projective representation) 이다
-* 이는 [[Spin(3)|SU(2)]]의 2차원 표현에서 오는 것으로, 2:1인 함수 $SU(2)\to SO(3)$를 통해 이해할 수 있다
+* 이는 [[Spin(3)|SU(2)]]의 2차원 표현에서 오는 것으로, 2:1인 함수 <math>SU(2)\to SO(3)</math>를 통해 이해할 수 있다
-$$
+:<math>
 \left(
 \begin{array}{cc}
@@ 126번째 줄: / 126번째 줄: @@
 \mapsto
 \left( \begin{array}{ccc}  \cos (\theta )-(\cos (\theta )-1) \omega _x^2 & (1-\cos (\theta )) \omega _x \omega _y-\sin (\theta ) \omega _z & \sin (\theta ) \omega _y-(\cos (\theta )-1) \omega _x \omega _z \\  (1-\cos (\theta )) \omega _x \omega _y+\sin (\theta ) \omega _z & \cos (\theta )-(\cos (\theta )-1) \omega _y^2 & -\sin (\theta ) \omega _x-(\cos (\theta )-1) \omega _y \omega _z \\  -\sin (\theta ) \omega _y-(\cos (\theta )-1) \omega _x \omega _z & \sin (\theta ) \omega _x-(\cos (\theta )-1) \omega _y \omega _z & \cos (\theta )-(\cos (\theta )-1) \omega _z^2 \end{array} \right)
-$$
+</math>
 ==역사==

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 * Harmonic analysis on commutative spaces
 * Groups and Symmetries http://www.springer.com/mathematics/algebra/book/978-0-387-78865-4
 [[분류:리군과 리대수]]
 [[분류:수리물리학]]
 [[분류:구면기하학]]

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 ==사영표현(projective representation)==
-*  단위구면의 회전으로부터 [[평사 투영(stereographic projection)]] 을 통해 다음과 같은 [[뫼비우스 변환군과 기하학|뫼비우스 변환]] 을 얻을 수 있다
+*  단위구면의 회전으로부터 [[입체사영 (stereographic projection)]] 을 통해 다음과 같은 [[뫼비우스 변환군과 기하학|뫼비우스 변환]] 을 얻을 수 있다
 :<math>f(z)=\frac{\alpha z+\beta}{-\overline{\beta}z+\overline{\alpha}}</math> 여기서 <math>\alpha,\beta\in\mathbf{C}, |\alpha|^2 + |\beta|^2 = 1</math>
 *  더 구체적으로 단위벡터 <math>(\omega _x,\omega _y,\omega _z)</math> 를 축으로 하여 <math>\theta</math> 만큼 회전시키는 3차원의 회전변환은 다음 뫼비우스 변환에 대응된다

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−	==~~리뷰논문~~, 에세이, 강의노트==	+	==리뷰, 에세이, 강의노트==
−		+	* http://www.math.msu.edu/~shapiro/Pubvit/Downloads/RS_Rotation/rotation.pdf

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 *  더 구체적으로 단위벡터 <math>(\omega _x,\omega _y,\omega _z)</math> 를 축으로 하여 <math>\theta</math> 만큼 회전시키는 3차원의 회전변환은 다음 뫼비우스 변환에 대응된다
 :<math>f(z)=\frac{z \left(\cos \left(\frac{\theta }{2}\right)+i \omega_z \sin \left(\frac{\theta }{2}\right)\right)+i \omega_x \sin \left(\frac{\theta }{2}\right)-\omega_y \sin \left(\frac{\theta }{2}\right)}{z \left(\omega_y \sin \left(\frac{\theta }{2}\right)+i \omega_x \sin \left(\frac{\theta }{2}\right)\right)-i \omega_z \sin \left(\frac{\theta }{2}\right)+\cos \left(\frac{\theta }{2}\right)}</math>
-* 벡터공간이 아닌 1차원 복소사영평면에 정의되므로, 사영표현(projective representation) 이다
+* 벡터공간이 아닌 1차원 복소사영공간에 정의되므로, 사영표현(projective representation) 이다
 * 이는 [[Spin(3)|SU(2)]]의 2차원 표현에서 오는 것으로, 2:1인 함수 $SU(2)\to SO(3)$를 통해 이해할 수 있다
 $$

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	[[분류:리군과 리대수]]		[[분류:리군과 리대수]]
	[[분류:수리물리학]]		[[분류:수리물리학]]
		+	[[분류:구면기하학]]

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 ==개요==
 ==로드리게스 공식==
-*  3차원에서 단위벡터 <math>(\omega _x,\omega _y,\omega _z)</math> 를 축으로 하여 <math>\theta</math> 만큼 회전시키는 변환의 행렬표현:<math>\left( \begin{array}{ccc}  \cos (\theta )-(\cos (\theta )-1) \omega _x^2 & (1-\cos (\theta )) \omega _x \omega _y-\sin (\theta ) \omega _z & \sin (\theta ) \omega _y-(\cos (\theta )-1) \omega _x \omega _z \\  (1-\cos (\theta )) \omega _x \omega _y+\sin (\theta ) \omega _z & \cos (\theta )-(\cos (\theta )-1) \omega _y^2 & -\sin (\theta ) \omega _x-(\cos (\theta )-1) \omega _y \omega _z \\  -\sin (\theta ) \omega _y-(\cos (\theta )-1) \omega _x \omega _z & \sin (\theta ) \omega _x-(\cos (\theta )-1) \omega _y \omega _z & \cos (\theta )-(\cos (\theta )-1) \omega _z^2 \end{array} \right)</math>
+*  3차원에서 단위벡터 <math>(\omega _x,\omega _y,\omega _z)</math> 를 축으로 하여 <math>\theta</math> 만큼 회전시키는 변환의 행렬표현
 *  유도 [http://www.cs.berkeley.edu/%7Eug/slide/pipeline/assignments/as5/rotation.html http:/][http://www.cs.berkeley.edu/%7Eug/slide/pipeline/assignments/as5/rotation.html /www.cs.berkeley.edu/~ug/slide/pipeline/assignments/as5/rotation.html]
 *  x,y,z 축을 중심으로 한 회전변환
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 </math>
 * [[벡터의 외적(cross product)]]
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 ==사영표현(projective representation)==
-*  단위구면의 회전으로부터 [[평사 투영(stereographic projection)|stereographic projection]] 을 통해 다음과 같은 [[뫼비우스 변환군과 기하학|뫼비우스 변환]] 을 얻을 수 있다:<math>f(z)=\frac{\alpha z+\beta}{-\overline{\beta}z+\overline{\alpha}}</math> 여기서 <math>\alpha,\beta\in\mathbf{C}, |\alpha|^2 + |\beta|^2 = 1</math>
+*  단위구면의 회전으로부터 [[평사 투영(stereographic projection)|stereographic projection]] 을 통해 다음과 같은 [[뫼비우스 변환군과 기하학|뫼비우스 변환]] 을 얻을 수 있다
-*  더 구체적으로 단위벡터 <math>(a,b,c)</math> 를 축으로 하여 <math>\theta</math> 만큼 회전시키는 변환은 다음 뫼비우스 변환에 대응된다:<math>f(z)=\frac{z \left(\cos \left(\frac{\theta }{2}\right)+i c \sin \left(\frac{\theta }{2}\right)\right)+i a \sin \left(\frac{\theta }{2}\right)-b \sin \left(\frac{\theta }{2}\right)}{z \left(b \sin \left(\frac{\theta }{2}\right)+i a \sin \left(\frac{\theta }{2}\right)\right)-i c \sin \left(\frac{\theta }{2}\right)+\cos \left(\frac{\theta }{2}\right)}</math>
+:<math>f(z)=\frac{\alpha z+\beta}{-\overline{\beta}z+\overline{\alpha}}</math> 여기서 <math>\alpha,\beta\in\mathbf{C}, |\alpha|^2 + |\beta|^2 = 1</math>
 * 벡터공간이 아닌 1차원 복소사영평면에 정의되므로, 사영표현(projective representation) 이다
-* 벡터공간에 정의되는 표현을 얻으려면, [[Spin(3)|Spin(3)와 파울리 행렬]] 의 도입이 필요하다
+* 이는 [[Spin(3)|SU(2)]]의 2차원 표현에서 오는 것으로, 2:1인 함수 $SU(2)\to SO(3)$를 통해 이해할 수 있다

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159번째 줄:		159번째 줄:
	* Groups and Symmetries http://www.springer.com/mathematics/algebra/book/978-0-387-78865-4		* Groups and Symmetries http://www.springer.com/mathematics/algebra/book/978-0-387-78865-4
	[[분류:리군과 리대수]]		[[분류:리군과 리대수]]
		+	[[분류:수리물리학]]