Herglotz–Zagier 함수 - 편집 역사

2021년 2월 17일 (수) 10:25에 Pythagoras0님의 편집

2021-02-17T10:25:44Z

Pythagoras0: /* 메타데이터 */ 새 문단

2020-12-28T14:22:48Z

메타데이터: 새 문단

2020년 11월 13일 (금) 04:50에 Pythagoras0님의 편집

2020-11-13T04:50:56Z

Pythagoras0: /* 성질 */

2015-06-16T07:18:36Z

성질

Pythagoras0: /* 점근 급수 */

2015-06-16T07:02:14Z

점근 급수

Pythagoras0: /* 성질 */

2015-06-16T06:52:14Z

성질

Pythagoras0: /* 관련논문 */

2015-06-16T06:25:07Z

2013년 6월 19일 (수) 21:33에 Pythagoras0님의 편집

2013-06-19T21:33:30Z

2013년 6월 12일 (수) 21:27에 Pythagoras0님의 편집

2013-06-12T21:27:50Z

2013년 6월 2일 (일) 16:11에 Pythagoras0님의 편집

2013-06-02T16:11:33Z

@@ 62번째 줄: / 62번째 줄: @@
 [[분류:정수론]]
-== 메타데이터 ==
+==메타데이터==
 ===위키데이터===
 * ID :  [https://www.wikidata.org/wiki/Q73015 Q73015]

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	[[분류:정수론]]		[[분류:정수론]]
		+
		+	== 메타데이터 ==
		+
		+	===위키데이터===
		+	* ID : [https://www.wikidata.org/wiki/Q73015 Q73015]

@@ 1번째 줄: / 1번째 줄: @@
 ==개요==
-* 다음과 같이 정의된 함수 $F:\mathbb{R}_{+}\to \mathbb{R}$
+* 다음과 같이 정의된 함수 <math>F:\mathbb{R}_{+}\to \mathbb{R}</math>
-$$
+:<math>
 \begin{align}
 F(x)&= \sum^{\infty}_{n=1} \left\{\frac{\Gamma^{\prime}(nx)}{\Gamma (nx)} -\log (nx)\right\} \frac{1}{n}\\
@@ 7번째 줄: / 7번째 줄: @@
 &= \int_{0}^{\infty}\left(\frac{1}{1-e^{-t}}-\frac{1}{t}\right)\log (1-e^{-xt})\, dt
 \end{align}
-$$
+</math>
-여기서 $\psi(x)$는 [[다이감마 함수(digamma function)]]
+여기서 <math>\psi(x)</math>는 [[다이감마 함수(digamma function)]]
 * 실 이차수체에 대한 [[크로네커 극한 공식]]을 얻는데 활용됨
@@ 14번째 줄: / 14번째 줄: @@
 ==점근 급수==
 * [[다이감마 함수(digamma function)]]의 점근 급수로부터 다음을 얻는다 :
-$x\to \infty$ 일 때,
+<math>x\to \infty</math> 일 때,
-$$
+:<math>
 F(x) \sim - \frac{\pi^2}{12x} - \sum_{n=1}^\infty \frac{B_{2n}\zeta(2n+1)}{2n(x^{2n})} = - \frac{\pi^2}{12x} -\frac{B_2}{2}\frac{\zeta(3)}{x^2}-\frac{B_4}{4}\frac{\zeta(5)}{x^4}+\cdots
-$$
+</math>
 ==성질==
 * 반전공식
-$$
+:<math>
 F(x)+F\left( \frac{1}{x} \right) = -\frac{\pi^2}{6}(x+\frac{1}{x})+\frac{1}{2}\log^2(x)+C_1
-$$
+</math>
-이 때 $C_1=1.45738783\cdots$는 상수
+이 때 <math>C_1=1.45738783\cdots</math>는 상수
-* 다음 함수방정식을 만족한다 ($x>1$)
+* 다음 함수방정식을 만족한다 (<math>x>1</math>)
-$$
+:<math>
 F(x)-F(x-1)+F\left(\frac{x-1}{x} \right) =-\mbox{Li}_ 2 \left( \frac{1}{x} \right)+C_2
-$$
+</math>
-여기서 $\mbox{Li}_ 2$는 [[다이로그 함수(dilogarithm)]], $C_2=-0.91624015\cdots$는 상수
+여기서 <math>\mbox{Li}_ 2</math>는 [[다이로그 함수(dilogarithm)]], <math>C_2=-0.91624015\cdots</math>는 상수
 ==테이블==

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 * 반전공식
 $$
-F(x)+F\left( \frac{1}{x} \right) = -\frac{\pi^2}{6}(x+\frac{1}{x})-\frac{1}{2}\log^2(x)+C_1
+F(x)+F\left( \frac{1}{x} \right) = -\frac{\pi^2}{6}(x+\frac{1}{x})+\frac{1}{2}\log^2(x)+C_1
 $$
 이 때 $C_1=1.45738783\cdots$는 상수
+* 다음 함수방정식을 만족한다 ($x>1$)
 $$
 F(x)-F(x-1)+F\left(\frac{x-1}{x} \right) =-\mbox{Li}_ 2 \left( \frac{1}{x} \right)+C_2
 $$
 여기서 $\mbox{Li}_ 2$는 [[다이로그 함수(dilogarithm)]], $C_2=-0.91624015\cdots$는 상수
 ==테이블==

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 $x\to \infty$ 일 때,
 $$
-F(x) \sim - \frac{\pi^2}{12x} - \sum_{n=1}^\infty \frac{B_{2n}\zeta^(2n+1)}{2n(x^{2n})} = - \frac{\pi^2}{12x} -\frac{B_2}{2}\frac{\zeta(3)}{x^2}-\frac{B_4}{4}\frac{\zeta(5)}{x^4}+\cdots
+F(x) \sim - \frac{\pi^2}{12x} - \sum_{n=1}^\infty \frac{B_{2n}\zeta(2n+1)}{2n(x^{2n})} = - \frac{\pi^2}{12x} -\frac{B_2}{2}\frac{\zeta(3)}{x^2}-\frac{B_4}{4}\frac{\zeta(5)}{x^4}+\cdots
 $$
 ==성질==

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	여기서 $\mbox{Li}_ 2$는 [[다이로그 함수(dilogarithm)]], $C_2=-0.91624015\cdots$는 상수		여기서 $\mbox{Li}_ 2$는 [[다이로그 함수(dilogarithm)]], $C_2=-0.91624015\cdots$는 상수

		+
		+	==테이블==
		+	\begin{array}{c\|c\|c\|c}
		+	x & F(x) & x & F(x) \\
		+	\hline
		+	0.10 & -12.4222496 & 1.1 & -0.825938309 \\
		+	0.20 & -5.63263743 & 1.2 & -0.751638258 \\
		+	0.30 & -3.53874246 & 1.3 & -0.689468367 \\
		+	0.40 & -2.54831936 & 1.4 & -0.636705058 \\
		+	0.50 & -1.97893369 & 1.5 & -0.591378592 \\
		+	0.60 & -1.61209447 & 1.6 & -0.552030297 \\
		+	0.70 & -1.35729576 & 1.7 & -0.517557613 \\
		+	0.80 & -1.17060188 & 1.8 & -0.487112113 \\
		+	0.90 & -1.02823098 & 1.9 & -0.460030550 \\
		+	1.0 & -0.916240150 & 2.0 & -0.435787136 \\
		+	\end{array}

	==사전 형태의 자료==		==사전 형태의 자료==

@@ 36번째 줄: / 36번째 줄: @@
 ==사전 형태의 자료==
 * http://en.wikipedia.org/wiki/Herglotz–Zagier_function
@@ 41번째 줄: / 45번째 줄: @@
 * Masri, Riad. 2004. “The Herglotz–Zagier Function, Double Zeta Functions, and Values of L-series.” Journal of Number Theory 106 (2) (June): 219–237. doi:[http://dx.doi.org/10.1016/j.jnt.2004.01.004 10.1016/j.jnt.2004.01.004].
 * Zagier, Don. 1975. “A Kronecker Limit Formula for Real Quadratic Fields.” Mathematische Annalen 213 (2) (June 1): 153–184. doi:[http://dx.doi.org/10.1007%2FBF01343950 10.1007/BF01343950].

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	여기서 $\psi(x)$는 [[다이감마 함수(digamma function)]]		여기서 $\psi(x)$는 [[다이감마 함수(digamma function)]]
	* 실 이차수체에 대한 [[크로네커 극한 공식]]을 얻는데 활용됨		* 실 이차수체에 대한 [[크로네커 극한 공식]]을 얻는데 활용됨
		+
		+
		+	==점근 급수==
		+	* [[다이감마 함수(digamma function)]]의 점근 급수로부터 다음을 얻는다 :
		+	$x\to \infty$ 일 때,
		+	$$
		+	F(x) \sim - \frac{\pi^2}{12x} - \sum_{n=1}^\infty \frac{B_{2n}\zeta^(2n+1)}{2n(x^{2n})} = - \frac{\pi^2}{12x} -\frac{B_2}{2}\frac{\zeta(3)}{x^2}-\frac{B_4}{4}\frac{\zeta(5)}{x^4}+\cdots
		+	$$
		+