"미디의 정리(Midy's theorem)"의 두 판 사이의 차이

2011년 12월 5일 (월) 05:53 판

소수 p에 대하여, 분수 a/p (\(1\leq a \leq p-1\)) 를 십진법 전개할 때 얻어지는 순환마디의 길이가 2n 이고, 순환마디가 \(a_1a_2\cdots a_{n} a_{n+1}a_{n+2}\cdots a_{2n}\) 라 하자.
\(1\leq i \leq n\) 에 대하여, \(a_{i} + a_{i+n}=9\) 이 성립한다.
또한 \(a_1a_2\cdots a_{n} + a_{n+1}a_{n+2}\cdots a_{2n} = 99\cdots 99\)(n개의 9) 가 성립한다.
소수 p에 대하여, 분수 1/p 를 십진법 전개할 때 얻어지는 순환마디의 길이가 3n 이고, 순환마디가 \(a_1a_2\cdots a_{n} a_{n+1}a_{n+2}\cdots a_{2n}a_{2n+1}a_{2n+2}\cdots a_{3n}\) 라 하자.
\(a_1a_2\cdots a_{n} + a_{n+1}a_{n+2}\cdots a_{2n} +a_{2n+1}a_{2n+2}\cdots a_{3n}= 99\cdots 99\) 가 성립한다

(증명)

1/p 을 생각하자.

\(g_0=1\), \(10g_{k-1}=p a_k+g_k\), \(0\leq g_k \leq p-1\) 로 정의되는 수열을 생각하자. (나눗셈을 할 때, 몫과 나머지로 나타나는 수이다)

\(a_1a_2\cdots a_{n} + a_{n+1}a_{n+2}\cdots a_{2n}=\frac{g_0 10^n-g_n}{p} + \frac{g_{n} 10^n-g_0}{p}=\frac{(g_0+g_n)(10^n-1)}{p}=10^n-1\)

A Curious String of Nines
- Hans Liebeck,
- The Mathematical Gazette, Vol. 85, No. 504 (Nov., 2001), pp. 431-438

Midy's (Nearly) Secret Theorem: An Extension after 165 Years
- Brian D. Ginsberg, The College Mathematics Journal, Vol. 35, No. 1 (Jan., 2004), pp. 26-30

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 /p 을 생각하자.
-<math>g_0=1</math>, <math>10g_{k-1}=p a_k+g_k</math>, <math>0\leq g_k \leq p-1</math> 로 정의되는 수열을 생각하자.
+<math>g_0=1</math>, <math>10g_{k-1}=p a_k+g_k</math>, <math>0\leq g_k \leq p-1</math> 로 정의되는 수열을 생각하자. (나눗셈을 할 때, 몫과 나머지로 나타나는 수이다)
-<math>a_1a_2\cdots a_{n} + a_{n+1}a_{n+2}\cdots a_{2n}=\frac{g_0 10^n-g_n}{p} + \frac{g_{n} 10^n-g_0}{p}=</math>
+<math>a_1a_2\cdots a_{n} + a_{n+1}a_{n+2}\cdots a_{2n}=\frac{g_0 10^n-g_n}{p} + \frac{g_{n} 10^n-g_0}{p}=\frac{(g_0+g_n)(10^n-1)}{p}=10^n-1</math>