"벡터의 내적"의 두 판 사이의 차이
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| − | <h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">이 항목의 스프링노트 원문주소 | + | <h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">이 항목의 스프링노트 원문주소== |
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* 두 n차원 벡터 <math>\mathbf a = (a_1, a_2, \cdots , a_n)</math>과 <math>\mathbf b = (b_1, b_2, \cdots , b_n)</math> 에 대하여, 내적은 다음과 같이 정의된다<br><math>\mathbf{a}\cdot \mathbf{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots + a_nb_n = \sum_{i=1}^n a_ib_i</math><br> | * 두 n차원 벡터 <math>\mathbf a = (a_1, a_2, \cdots , a_n)</math>과 <math>\mathbf b = (b_1, b_2, \cdots , b_n)</math> 에 대하여, 내적은 다음과 같이 정의된다<br><math>\mathbf{a}\cdot \mathbf{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots + a_nb_n = \sum_{i=1}^n a_ib_i</math><br> | ||
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| − | <h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;">코사인 법칙으로부터의 유도 | + | <h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;">코사인 법칙으로부터의 유도== |
* 삼각형의 두 변의 길이와 그 끼인 각에 대하여, 나머지 한변의 길이를 다음과 같이 표현할 수 있음<br><math>c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\theta</math><br> | * 삼각형의 두 변의 길이와 그 끼인 각에 대하여, 나머지 한변의 길이를 다음과 같이 표현할 수 있음<br><math>c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\theta</math><br> | ||
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| − | ==삼각형에의 응용 | + | ==삼각형에의 응용== |
* 원점과 두 벡터 <math>\mathbf a = (2,1)</math>, <math>\mathbf b = (1,3)</math>로 이루어진 삼각형의 원점에서의 각의 크기 | * 원점과 두 벡터 <math>\mathbf a = (2,1)</math>, <math>\mathbf b = (1,3)</math>로 이루어진 삼각형의 원점에서의 각의 크기 | ||
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| − | ==역사 | + | ==역사== |
* [[수학사연표 (역사)|수학사연표]] | * [[수학사연표 (역사)|수학사연표]] | ||
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| − | ==관련된 항목들 | + | ==관련된 항목들== |
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| − | <h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">수학용어번역 | + | <h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">수학용어번역== |
* http://www.google.com/dictionary?langpair=en|ko&q= | * http://www.google.com/dictionary?langpair=en|ko&q= | ||
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| − | ==사전 형태의 자료 | + | ==사전 형태의 자료== |
* [http://ko.wikipedia.org/wiki/%EB%82%B4%EC%A0%81 http://ko.wikipedia.org/wiki/내적] | * [http://ko.wikipedia.org/wiki/%EB%82%B4%EC%A0%81 http://ko.wikipedia.org/wiki/내적] | ||
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| − | ==관련논문 | + | ==관련논문== |
* http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query= | * http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query= | ||
2012년 11월 1일 (목) 12:50 판
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개요
정의==
- 두 n차원 벡터 \(\mathbf a = (a_1, a_2, \cdots , a_n)\)과 \(\mathbf b = (b_1, b_2, \cdots , b_n)\) 에 대하여, 내적은 다음과 같이 정의된다
\(\mathbf{a}\cdot \mathbf{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots + a_nb_n = \sum_{i=1}^n a_ib_i\)
코사인 법칙으로부터의 유도==
- 삼각형의 두 변의 길이와 그 끼인 각에 대하여, 나머지 한변의 길이를 다음과 같이 표현할 수 있음
\(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\theta\)
(정리) 내적에 관한 다음 공식을 통해, 두 벡터간의 각도 \(\theta\)를 쉽게 계산할 수 있음
\(\mathbf a \cdot \mathbf b = |\mathbf a| \cdot |\mathbf b| \cos \theta\)
(증명)
일반적인 경우, \(\mathbf a ,\mathbf b,\mathbf a - \mathbf b\) 세 벡터는 삼각형을 이룬다.
\(a= |\mathbf a| \), \(b=|\mathbf b| \), \(c=|\mathbf a - \mathbf b| \) 로 두자.
\(c^2-a^2-b^2=|\mathbf a - \mathbf b| ^2-|\mathbf a|^2 -|\mathbf b|^2 =(\mathbf a - \mathbf b)\cdot(\mathbf a - \mathbf b)-(\mathbf a \cdot \mathbf a)-(\mathbf b \cdot \mathbf b)=-2\mathbf a \cdot \mathbf b\)
코사인법칙으로부터 \(\mathbf a \cdot \mathbf b = ab\cos\theta= |\mathbf a| \cdot |\mathbf b| \cos \theta\) 를 얻는다.
삼각형에의 응용
- 원점과 두 벡터 \(\mathbf a = (2,1)\), \(\mathbf b = (1,3)\)로 이루어진 삼각형의 원점에서의 각의 크기
- 코사인법칙과 벡터의 내적을 통한 방법의 비교
역사
관련된 항목들
수학용어번역==
사전 형태의 자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/내적
- http://en.wikipedia.org/wiki/inner_product
- http://www.wolframalpha.com/input/?i=
- NIST Digital Library of Mathematical Functions
관련논문
- 두 n차원 벡터 \(\mathbf a = (a_1, a_2, \cdots , a_n)\)과 \(\mathbf b = (b_1, b_2, \cdots , b_n)\) 에 대하여, 내적은 다음과 같이 정의된다
\(\mathbf{a}\cdot \mathbf{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots + a_nb_n = \sum_{i=1}^n a_ib_i\)
코사인 법칙으로부터의 유도==
- 삼각형의 두 변의 길이와 그 끼인 각에 대하여, 나머지 한변의 길이를 다음과 같이 표현할 수 있음
\(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\theta\)
(정리) 내적에 관한 다음 공식을 통해, 두 벡터간의 각도 \(\theta\)를 쉽게 계산할 수 있음
\(\mathbf a \cdot \mathbf b = |\mathbf a| \cdot |\mathbf b| \cos \theta\)
(증명)
일반적인 경우, \(\mathbf a ,\mathbf b,\mathbf a - \mathbf b\) 세 벡터는 삼각형을 이룬다.
\(a= |\mathbf a| \), \(b=|\mathbf b| \), \(c=|\mathbf a - \mathbf b| \) 로 두자.
\(c^2-a^2-b^2=|\mathbf a - \mathbf b| ^2-|\mathbf a|^2 -|\mathbf b|^2 =(\mathbf a - \mathbf b)\cdot(\mathbf a - \mathbf b)-(\mathbf a \cdot \mathbf a)-(\mathbf b \cdot \mathbf b)=-2\mathbf a \cdot \mathbf b\)
코사인법칙으로부터 \(\mathbf a \cdot \mathbf b = ab\cos\theta= |\mathbf a| \cdot |\mathbf b| \cos \theta\) 를 얻는다.
\(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\theta\)
삼각형에의 응용
- 원점과 두 벡터 \(\mathbf a = (2,1)\), \(\mathbf b = (1,3)\)로 이루어진 삼각형의 원점에서의 각의 크기
- 코사인법칙과 벡터의 내적을 통한 방법의 비교
역사
관련된 항목들