"볼록다면체에 대한 데카르트 정리"의 두 판 사이의 차이

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* 다면체에 대해서도 비슷한 정리가 성립하며, 이를 다면체에 대한 데카르트 정리라고 부름
 
* 다면체에 대해서도 비슷한 정리가 성립하며, 이를 다면체에 대한 데카르트 정리라고 부름
 
*  다면체의 한 점에서의 외각<br>
 
*  다면체의 한 점에서의 외각<br>
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** '''<math>2\pi</math> -  (한 점에 모여있는 다각형들의 그 점에서의 각의 합)'''
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** '''<math>2\pi</math>  (한 점에 모여있는 다각형들의 그 점에서의 각의 합)'''
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** 다음 표를 통해, 그 예를 볼 수 있음.
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{| style="margin: 1em auto; text-align: center; border-collapse: collapse;"
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| 다면체
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| 그림
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| 점 <em>V</em>
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| 선 <em>E</em>
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| 면 <em>F</em>
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| <em>V-E+F</em>
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| 한점에서의 외각 <em>A</em>
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| 외각의 총합 <em>V × A</em>
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| 정사면체
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| [[|Tetrahedron]]
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| 4
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| 6
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| 4
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| 4-6+4=2
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| <math>2\pi-3\times\frac{\pi}{3}=\pi</math>
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| <math>4\times\pi=4\pi</math>
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|-
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| 정육면체
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| [[|Hexahedron (cube)]]
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| 8
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| 12
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| 6
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| 8-12+6=2
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| <math>2\pi-3\times\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{2}</math>
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| <math>8\times\frac{\pi}{2}=4\pi</math>
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| 정팔면체
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| [[|Octahedron]]
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| 6
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| 12
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| 8
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| 6-12+8=2
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| <math>2\pi-4\times\frac{\pi}{3}=\frac{2\pi}{3}</math>
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| <math>6\times\frac{2\pi}{3}=4\pi</math>
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| 정십이면체
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| [[|Dodecahedron]]
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| 20
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| 30
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| 12
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| 20-30+12=2
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| <math>20\times\frac{\pi}{5}=4\pi</math>
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| 정이십면체
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| [[|Icosahedron]]
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| 12
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| 30
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| 20
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| 12-30+20=2
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| <math>2\pi-5\times\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{3}</math>
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| <math>12\times\frac{\pi}{3}=4\pi</math>
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|}
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* 데카르트의 정리는 다면체의 각 점에서의 외각의 총합이 <math>4\pi</math> 라는 것.
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* 증명
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각 점에서의 외각의 총합
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[http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=%5C=sum_%7Bv%20%20%5Ctext%7B%20%20%3A%20vertex%7D%20%7D%202%5Cpi%20-%28%5Ctext%7Bsum%20of%20angles%20meeting%20at%20%20%7Dv%29 ]
  
 
 
 
 

2009년 1월 28일 (수) 09:35 판

간단한 소개
  •  
    다각형의 모양에 상관없이 그 외각의 합은 \(2\pi\).

    위의 그림에서 a,b,c,d,e가 각 점의 외각의 크기.
    이를 다 합하면 \(2\pi\)가 됨.
  • 다면체에 대해서도 비슷한 정리가 성립하며, 이를 다면체에 대한 데카르트 정리라고 부름
  • 다면체의 한 점에서의 외각
    • \(2\pi\)  (한 점에 모여있는 다각형들의 그 점에서의 각의 합)
    • 다음 표를 통해, 그 예를 볼 수 있음.
다면체 그림 점 V 선 E 면 F V-E+F 한점에서의 외각 A 외각의 총합 V × A
정사면체 [[|Tetrahedron]] 4 6 4 4-6+4=2 \(2\pi-3\times\frac{\pi}{3}=\pi\) \(4\times\pi=4\pi\)
정육면체 [[|Hexahedron (cube)]] 8 12 6 8-12+6=2 \(2\pi-3\times\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{2}\) \(8\times\frac{\pi}{2}=4\pi\)
정팔면체 [[|Octahedron]] 6 12 8 6-12+8=2 \(2\pi-4\times\frac{\pi}{3}=\frac{2\pi}{3}\) \(6\times\frac{2\pi}{3}=4\pi\)
정십이면체 [[|Dodecahedron]] 20 30 12 20-30+12=2 \(2\pi-3\times\frac{3\pi}{5}=\frac{\pi}{5}\) \(20\times\frac{\pi}{5}=4\pi\)
정이십면체 [[|Icosahedron]] 12 30 20 12-30+20=2 \(2\pi-5\times\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{3}\) \(12\times\frac{\pi}{3}=4\pi\)
  • 데카르트의 정리는 다면체의 각 점에서의 외각의 총합이 \(4\pi\) 라는 것.
  • 증명

 

각 점에서의 외각의 총합

[1]

 

재미있는 사실

 

 

관련된 단원

 

 

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관련도서 및 추천도서

 

 

관련된 고교수학 또는 대학수학

 

 

참고할만한 자료

 

동영상 강좌
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