"소수 정리"의 두 판 사이의 차이

2010년 5월 30일 (일) 09:41 판

\(x\) 이하의 소수의 갯수 \(\pi(x)\) 에 대해, \(x\) 가 크면 \(\pi(x)\sim\frac{x}{\log x}\) 이다. 즉, \(\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\pi(x)\log(x)}{x} = 1\) 이 성립한다.

가우스가 소수 표를 보다가 처음 발견하였고, 복소함수론을 사용한 해석적 증명이 발견되었으며, 그 후에 에르디시와 셀베르그에 의해 복소함수론을 사용하지 않는 초등적 증명(elementary proof)가 발견되었다.

로그적분(logarithmic integral)
[[search?q=로그적분(logarithmic integral)&parent id=4426135|]]\(\int_2^{\infty} \frac{1}{\log x}\,dx\)

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 <h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">개요</h5>
-* <math>x</math> 이하의 소수의 갯수 <math>\pi(x)</math> 에 대해, <math>x</math> 가 크면 <math>\pi(x)\approx\frac{x}{\log x}</math> 이다. 즉, <math>\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\pi(x)\log(x)}{x} = 1</math> 이 성립한다.
+* <math>x</math> 이하의 소수의 갯수 <math>\pi(x)</math> 에 대해, <math>x</math> 가 크면 <math>\pi(x)\sim\frac{x}{\log x}</math> 이다. 즉, <math>\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\pi(x)\log(x)}{x} = 1</math> 이 성립한다.
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 <h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;">동치명제</h5>
-*  다음은 소수정리와 도<br>
+*  다음은 소수정리와 동치이다<br><math>\varphi(x)=\sum_{p\leq x}\log p \sim x</math><br> (증명)<br><math>\varphi(x)=\sum_{p\leq x}\log p \leq \sum_{p\leq x}\log x=\pi(x)\log x</math><br> 임의의 <math>\epsilon>0</math>에 대하여, <br><math>\varphi(x)\geq \sum_{x^{1-\epsilon}\leq p\leq x}\log p \geq \sum_{x^{1-\epsilon}\leq p\leq x}(1-\epsilon)\log x = (1-\epsilon)\log x\{\pi(x)+O(x^{1-\epsilon}\}</math><br> 따라서 <math>\varphi(x)=\sum_{p\leq x}\log p \sim x</math> 임을 가정하면, <br>
-<math>\varphi(x)=\sum_{p\leq x}\log p \sim x</math>