소수 정리

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• 소수정리

 

 

개요

• \(x\) 이하의 소수의 갯수 \(\pi(x)\) 에 대해, \(x\) 가 크면 \(\pi(x)\sim\frac{x}{\log x}\) 이다. 즉, \(\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\pi(x)\log(x)}{x} = 1\) 이 성립한다.

 

• 가우스가 소수 표를 보다가 처음 발견하였고, 복소함수론을 사용한 해석적 증명이 발견되었으며, 그 후에 에르디시와 셀베르그에 의해 복소함수론을 사용하지 않는 초등적 증명(elementary proof)가 발견되었다.

 

 

 

동치명제

• 다음은 소수정리와 동치이다
  \(\varphi(x)=\sum_{p\leq x}\log p \sim x\)
  (증명)
  \(\varphi(x)=\sum_{p\leq x}\log p \leq \sum_{p\leq x}\log x=\pi(x)\log x\)
  임의의 \(\epsilon>0\)에 대하여, 
  \(\varphi(x)\geq \sum_{x^{1-\epsilon}\leq p\leq x}\log p \geq \sum_{x^{1-\epsilon}\leq p\leq x}(1-\epsilon)\log x = (1-\epsilon)\log x\{\pi(x)+O(x^{1-\epsilon}\}\)
  따라서 \(\varphi(x)=\sum_{p\leq x}\log p \sim x\) 임을 가정하면, \(\pi(x)\sim\frac{x}{\log x}\) 를 얻는다. ■
  

 

 

로그적분

• 로그적분(logarithmic integral)
  [[search?q=로그적분(logarithmic integral)&parent id=4426135|]]\(\int_2^{\infty} \frac{1}{\log x}\,dx\)
  

 

 

역사

• 수학사연표

 

 

메모

• http://www.math.uiuc.edu/~r-ash/CV/CV7.pdf

 

 

 

관련된 항목들

• 부정적분의 초등함수 표현(Integration in finite terms)
• 리만가설
• 리만제타함수

 

 

수학용어번역

• http://www.google.com/dictionary?langpair=en%7Cko&q=
• 대한수학회 수학 학술 용어집
  
  • http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=
• 대한수학회 수학용어한글화 게시판

 

 

사전 형태의 자료

• http://ko.wikipedia.org/wiki/소수정리
• http://en.wikipedia.org/wiki/prime_number_theorem
• [1]http://en.wikipedia.org/wiki/Explicit_formula
• http://en.wikipedia.org/wiki/Hardy–Littlewood_tauberian_theorem
• http://www.wolframalpha.com/input/?i=
• NIST Digital Library of Mathematical Functions
• The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
  
  • http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q=

 

 

관련논문

• THE ELEMENTARY PROOF OF THE PRIME NUMBER THEOREM: AN HISTORICAL PERSPECTIVE
  
  • D. Goldfeld
• An Elementary Proof of the Prime-Number Theorem
  
  • Atle Selberg, The Annals of Mathematics, Second Series, Vol. 50, No. 2 (Apr., 1949), pp. 305-313
• http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=

 

 

관련도서

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  • http://books.google.com/books?q=
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  • http://book.daum.net/search/mainSearch.do?query=

 

 

관련기사

• 네이버 뉴스 검색 (키워드 수정)
  
  • http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=소수정리
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