"슈바르츠-크리스토펠 사상(Schwarz-Christoffel mappings)"의 두 판 사이의 차이

2012년 7월 29일 (일) 15:03 판

복소상반평면을 다각형의 내부로 보내는 등각사상
다음 조건을 가정
- 실수축 위에 있는 \(\{a_k \in\mathbb{R}| k=1,\cdots, n\}\)가 n각형의 꼭지점으로 보내지고
- n각형의 내각이 \(\{\alpha_k \pi| k=1,\cdots, n\}\)이고 외각이 \(\{\lambda_k \pi| k=1,\cdots, n\}\) 인 경우 (즉 \(\alpha_k+\mu_k=1\), \(\sum_{k=1}^n \mu_k=2\))
위의 같은 조건하에서, 슈바르츠-크리스토펠 사상은 다음의 형태로 주어짐
\(f(z)=\alpha +\beta \underset{0}{\overset{z}{\int }}\prod _{k=1}^n \left(\zeta -a_k\right){}^{\alpha_k-1}d\zeta=\alpha +\beta \underset{0}{\overset{z}{\int }}\prod _{k=1}^n \frac{1}{\left(\zeta -a_k\right){}^{\mu_k}}d\zeta\)

\(\frac{f''(z)}{f'(z)}=\sum_{k=1}^{n}\frac{-\mu_k}{z-a_k}\)

우선 \(z^{\alpha}\) 형태의 복소함수에 대해서 이해할 필요가 있음
\(\alpha > 0\) 인 경우에 대해서 생각해보자
\(z^{\alpha}=e^{\alpha \ln z}= e^{\alpha (\ln |z|+i\arg z)}} =\exp(\ln |z|^{\alpha}+\alpha i \arg z)\)
이 함수가 복소상반평면을 어떻게 변화시키는지 알아보기 위해 \(\arg z\)의 브랜치를 하나 고정하자
\(z\) 가 실수라고 하자.
- \(z>0\) 이면 \(\arg z =0\)
- \(z<0\) 이면 \(\arg z =\pi\)
상반평면이 \(z^{\alpha}\) 에 의해 각도가 \(\alpha \pi\)인 두 직선으로 쌓인 영역으로 변화하며, \(z<0\) 의 이미지에서 \(z>0\) 의 이미지로 갈 때, 시계방향으로 \((1-\alpha) \pi\) 만큼 회전하게 된다

다음과 같은 형태로 주어지는 타원적분 을 생각하자
\(f(z)=\int_0^z\frac{d\zeta}{\sqrt{(\zeta+1)\zeta(\zeta-1)}}\)
이러한 타원적분으로 주어진 함수가 등각사상으로서 어떤 성질을 갖는지 알기 위해 국소적으로 보자면,
- \(z=-1\) 근방에서 \(f(z) \approx (z+1)^{\frac{1}{2}}\)
- \(z=0\) 근방에서 \(f(z) \approx z^{\frac{1}{2}}\)
- \(z=1\) 근방에서 \(f(z) \approx (z-1)^{\frac{1}{2}}\)

복소해석학의 리만 사상 정리 Riemann mapping theorem 에 의하면, 아래 그림과 같은 단위원과 별모양(pentagram) 사이에는 전단사 복소해석함수가 존재.

단위원에 대한 슈바르츠-크리스토펠 사상 (Schwarz-Christoffel mappings)은 이러한 사상을 다음과 같이 구체적으로 표현할 수 있게 해주는 공식.

\(f(z)=\int_0^z\frac{(1-\zeta^5)^{\frac{2}{5}}}{(1+\zeta^5)^{\frac{4}{5}}}\,d\zeta\)

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 <h5>국소적인 이해</h5>
-* 우선 <math>z^{\lambda}</math> 형태의 복소함수에 대해서 이해할 필요가 있음
+* 우선 <math>z^{\alpha}</math> 형태의 복소함수에 대해서 이해할 필요가 있음
-* <math>\lambda > 0</math> 인 경우에 대해서 먼저 생각해보자<br><math>z^{\lambda}=e^{\lambda \ln z}= e^{\lambda (\ln |z|+i\arg z)}} =\exp(\ln |z|^{\lambda}+\lambda i \arg z)</math><br>
+* <math>\alpha > 0</math> 인 경우에 대해서 생각해보자<br><math>z^{\alpha}=e^{\alpha \ln z}= e^{\alpha (\ln |z|+i\arg z)}} =\exp(\ln |z|^{\alpha}+\alpha i \arg z)</math><br>
 * 이 함수가 복소상반평면을 어떻게 변화시키는지 알아보기 위해 <math>\arg z</math>의 브랜치를 하나 고정하자
 * <math>z</math> 가 실수라고 하자.<br>
 ** <math>z>0</math>  이면 <math>\arg z =0</math>
 ** <math>z<0</math>  이면 <math>\arg z =\pi</math>
-* 상반평면이 <math>z^{\lambda}</math> 에 의해 각도가 <math>\lambda \pi</math>인 두 직선으로 쌓인 영역으로 변화하며, <math>z<0</math> 의 이미지는
+* 상반평면이 <math>z^{\alpha}</math> 에 의해 각도가 <math>\alpha \pi</math>인 두 직선으로 쌓인 영역으로 변화하며, <math>z<0</math> 의 이미지에서 <math>z>0</math> 의 이미지로 갈 때, 시계방향으로  <math>(1-\alpha) \pi</math> 만큼 회전하게 된다
-* <math>\lambda < 0</math> 인 경우