"열방정식"의 두 판 사이의 차이

2010년 8월 28일 (토) 08:45 판

열의 전달을 기술하는 편미분방정식
\(\frac{\partial u}{\partial t} -\beta\left(\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2u}{\partial y^2}+\frac{\partial^2u}{\partial z^2}\right)=0\)

\(u(x,t)=X(x)T(t)\)로 두자.

\(X''(x)=K_{n}X(x)\)

\(T'(t)=\beta K_{n}T(t)\)

여기서 \(K_{n}=-(\frac{n\pi}{L})^2, \n=1,2,3,\cdots\)

\(u(x,t)=e^{-k n^2 t} e^{ik nx}\) 는 위의 열방정식의 해이다.

\(\vartheta (x,it)=1+2\sum_{n=1}^\infty \exp(-\pi n^2 t) \cos(2\pi nx)\)

\(\frac{\partial}{\partial t} \vartheta(x,it)=\frac{1}{4\pi} \frac{\partial^2}{\partial x^2} \vartheta(x,it)\)

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 <h5 style="line-height: 3.428em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">개요</h5>
-*  열의 전달을 기술하는 편미분방정식<br>
+*  열의 전달을 기술하는 편미분방정식<br><math>\frac{\partial u}{\partial t} -\beta\left(\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2u}{\partial y^2}+\frac{\partial^2u}{\partial z^2}\right)=0</math><br>
-<math>\frac{\partial u}{\partial t} -k\left(\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2u}{\partial y^2}+\frac{\partial^2u}{\partial z^2}\right)=0</math>
+*  일반적으로 라플라시안을 사용하여 다음과 같이 표현<br><math>\frac{\partial u}{\partial t} = \beta\nabla^2 u</math><br>
-<math>\frac{\partial u}{\partial t} = k \nabla^2 u</math>
+<h5 style="line-height: 2em; margin: 0px;">경계조건과 초기조건</h5>
+*  경계조건<br>  <br><math>u(x,t)=u(L,t)=0</math><br>
+*  초기조건<br><math>u(x,0)=f(x)</math><br>
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+<h5 style="line-height: 2em; margin: 0px;">변수분리를 통한 해</h5>
+<math>u(x,t)=X(x)T(t)</math>로 두자.
+<math>X''(x)=K_{n}X(x)</math>
+<math>T'(t)=\beta K_{n}T(t)</math>
+여기서 <math>K_{n}=-(\frac{n\pi}{L})^2, \n=1,2,3,\cdots</math>
 <math>u(x,t)=e^{-k n^2 t} e^{ik nx}</math> 는 위의 열방정식의 해이다.