"오일러-가우스 초기하함수2F1"의 두 판 사이의 차이

수학노트
둘러보기로 가기 검색하러 가기
105번째 줄: 105번째 줄:
 
<math>_2F_1(\frac{1}{12},\frac{5}{12};\frac{1}{2};\frac{1323}{1331})=\frac{3}{4}\sqrt[4]{11}</math>
 
<math>_2F_1(\frac{1}{12},\frac{5}{12};\frac{1}{2};\frac{1323}{1331})=\frac{3}{4}\sqrt[4]{11}</math>
  
−
<math>_2F_1(\frac{1}{12},\frac{5}{12};\frac{1}{2};\frac{1323}{1331})=\frac{3}{4}\sqrt[4]{11}</math>
+
<math>_2F_1(\frac{1}{12},\frac{5}{12};\frac{1}{2};\frac{121}{125})=\frac{\sqrt[6]{2}\sqrt[4]{15}}{4\sqrt{\pi}}\frac{\Gamma(\frac{1}{3})^3}{\Gamma(\frac{1}{4})^2}(1+\sqrt{3})</math>
  
 
 
 
 
−
 
−
<math>_2F_1(\frac{}{},\frac{}{};\frac{}{};\frac{}{})=\frac{}{}\sqrt{}</math>
 
−
 
−
<math>_2F_1(\frac{}{},\frac{}{};\frac{}{};\frac{}{})=\frac{}{}\sqrt{}</math>
 
−
 
−
<math>_2F_1(\frac{}{},\frac{}{};\frac{}{};\frac{}{})=\frac{}{}\sqrt{}</math>
 
−
 
−
 
 
−
 
−
 
 
−
 
−
Curiously, at a number of very special points, the hypergeometric functions can assume rational,
 
−
 
−
{| width="100%" style="padding-left: 50px;"
 
−
|-
 
−
|
 
−
|
 
−
|
 
−
| (18)
 
−
|-
 
−
|
 
−
|
 
−
|
 
−
| (19)
 
−
|}
 
−
 
−
(M. Trott, pers. comm., Aug. 5, 2002; Zucker and Joyce 2001), quadratic surd
 
−
 
−
{| width="100%" style="padding-left: 50px;"
 
−
|-
 
−
|
 
−
|
 
−
|
 
−
| (20)
 
−
|-
 
−
|
 
−
|
 
−
|
 
−
| (21)
 
−
|}
 
−
 
−
(Zucker and Joyce 2001), and other exact values
 
−
 
−
{| width="100%" style="padding-left: 50px;"
 
−
|-
 
−
|
 
−
|
 
−
|
 
−
| (22)
 
−
|-
 
−
|
 
−
|
 
−
|
 
−
| (23)
 
−
|-
 
−
|
 
−
|
 
−
|
 
−
| (24)
 
−
|}
 
−
 
−
(Zucker and Joyce 2001, 2003).
 
−
 
−
 
 
−
 
−
 
 
−
 
−
(Zucker and Joyce 2001, 2003)
 
  
 
http://mathworld.wolfram.com/HypergeometricFunction.html
 
http://mathworld.wolfram.com/HypergeometricFunction.html
283번째 줄: 215번째 줄:
 
 
 
 
  
−
<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">관련도서 및 추천도서</h5>
+
 
 +
 
 +
<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">관련도서</h5>
  
 
*  도서내검색<br>
 
*  도서내검색<br>

2010년 6월 11일 (금) 11:07 판

이 항목의 스프링노트 원문주소

 

 

개요
  • 초기하급수
    \(\,_2F_1(a,b;c;z)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(a)_n(b)_n}{(c)_nn!}z^n, |z|<1\)
    여기서 \((a)_n=a(a+1)(a+2)...(a+n-1)\)에 대해서는 Pochhammer 기호와 캐츠(Kac) 기호 항목 참조
  • 적분표현
    \(\,_2F_1(a,b;c;z)=\frac{\Gamma(c)}{\Gamma(c-a)\Gamma(a)}\int_0^1t^{a-1}(1-t)^{c-a-1}(1-zt)^{-b}\,dt\)
  • 초기하급수의 해석적확장을 통해 얻어진 함수를 초기하함수라 함
  • 오일러, 가우스, 쿰머, 리만 등의 연구

 

 

초기하급수로 표현되는 함수의 예
  • 많은 special function 은 초기하함수의 파라미터를 변화시켜 얻어짐
    타원적분
    \(K(k) =\frac{\pi}{2}\,_2F_1(\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;k^2)\)
    \(E(k) =\frac{\pi}{2}\,_2F_1(\frac{1}{2},-\frac{1}{2};1;k^2)\)

 

 

피카드-Fuchs 미분방정식

 

 

오일러의 항등식

\(_2F_1 (a,b;c;z) = (1-z)^{-a} {}_2F_1 (a, c-b;c ; \frac{z}{z-1})\)

\(_2F_1 (a,b;c;z) = (1-z)^{-b}{}_2F_1(c-a,b;c;\frac{z}{z-1})\)

\(_2F_1 (a,b;c;z) = (1-z)^{c-a-b}{}_2F_1 (c-a, c-b;c ; z)\)

 

(증명)

다음 적분표현을 활용

\(\,_2F_1(a,b;c;z)=\frac{\Gamma(c)}{\Gamma(c-a)\Gamma(a)}\int_0^1t^{a-1}(1-t)^{c-a-1}(1-zt)^{-b}\,dt\)

위의 우변에서 \(t\to 1-t\), \(t\to \frac{t}{1-z-tz}\), \(t\to \frac{1-t}{1-tz}\)의 변환을 이용하면 항등식이 얻어진다. ■

 

 

 

contiguous 관계
  • 두 초기하급수가 있을 때, 세 파라미터가 정수만큼 다른 경우 contiguous라 함
  • 예
    \(_2F_1(a,b;c;z)\)와 \(_2F_1(a\pm1,b;c;z)\)
    \(_2F_1(a,b;c;z)\)와 \(_2F_1(a1,b;c\pm1;z)\)
  • \(_2F_1(a,b;c;z)\)와 contiguous 관계를 갖는 두 초기하급수가 있을 때, 이 세 초기하급수 사이에는 a,b,c,z를 계수로 갖는 선형종속 관계가 성립
    \(a(z-1)F (a + 1, b; c; z) + (2a-c-az + bz)F(a, b; c; z) + (c - a)F(a - 1, b; c; z) = 0\)
    \(aF(a + 1, b; c; z) - (c - 1)F (a, b; c - 1; z) + (c - a - 1)F (a, b; c; z) = 0\)
    \(aF(a + 1, b; c; z) - bF(a, b + 1; c; z) + (b - a)F(a, b; c; z) = 0\)

 

 

타원적분과 초기하급수

(증명)

\(\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^{2n}\theta{d\theta}=\frac{\pi}{2}\frac{(\frac{1}{2})_n}{(1)_n}\) (감마함수) 이므로

\(K(k) = \frac{\pi}{2}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(\frac{1}{2})_n(\frac{1}{2})_n}{n!(1)_n}k^{2n} = \frac{\pi}{2}\,_2F_1(\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;k^2)\)

 

 

special values

\(\,_2F_1(a,b;c;1)=\dfrac{\Gamma(c)\,\Gamma(c-a-b)}{\Gamma(c-a)\Gamma(c-b)}\)

\(\frac{\pi}{2}\,_2F_1(\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;\frac{1}{2})=K(\frac{1}{\sqrt{2}})=\frac{1}{4}B(1/4,1/4)=\frac{\Gamma(\frac{1}{4})^2}{4\sqrt{\pi}}=1.8540746773\cdots\)

 

\(_2F_1(\frac{1}{3},\frac{2}{3};\frac{5}{6};\frac{27}{32})=\frac{8}{5}\)

\(_2F_1(\frac{1}{4},\frac{1}{2};\frac{3}{4};\frac{80}{81})=\frac{9}{5}\)

\(_2F_1(\frac{1}{8},\frac{3}{8};\frac{1}{2};\frac{2400}{2401})=\frac{2}{3}\sqrt{7}\)

\(_2F_1(\frac{1}{6},\frac{1}{3};\frac{1}{2};\frac{25}{27})=\frac{3}{4}\sqrt{3}\)

\(_2F_1(\frac{1}{6},\frac{1}{2};\frac{2}{3};\frac{125}{128})=\frac{4}{3}\sqrt[6]2\)

\(_2F_1(\frac{1}{12},\frac{5}{12};\frac{1}{2};\frac{1323}{1331})=\frac{3}{4}\sqrt[4]{11}\)

\(_2F_1(\frac{1}{12},\frac{5}{12};\frac{1}{2};\frac{121}{125})=\frac{\sqrt[6]{2}\sqrt[4]{15}}{4\sqrt{\pi}}\frac{\Gamma(\frac{1}{3})^3}{\Gamma(\frac{1}{4})^2}(1+\sqrt{3})\)

 

http://mathworld.wolfram.com/HypergeometricFunction.html

 

 

재미있는 사실

 

 

 

역사

 

 

메모

 

 

관련된 항목들

 

 

수학용어번역

 

 

사전 형태의 자료

 

 

expository articles

 

 

관련논문
  • Special values of the hypergeometric series II
    • Joyce, G. S.; Zucker, I. J., Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society (2001), 131 : 309-319
  • Special values of the hypergeometric series
    • Joyce, G. S.; Zucker, I. J., Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society (1991)  volume: 109  issue: 2  page: 257

 

 

관련도서

 

 

관련기사

 

 

블로그
원본 주소 "https://wiki.mathnt.net/index.php?title=오일러-가우스_초기하함수2F1&oldid=15496"