"오일러-가우스 초기하함수2F1"의 두 판 사이의 차이

2010년 6월 11일 (금) 11:13 판

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오일러-가우스 초기하함수

개요

초기하급수
\(\,_2F_1(a,b;c;z)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(a)_n(b)_n}{(c)_nn!}z^n, |z|<1\)
여기서 \((a)_n=a(a+1)(a+2)...(a+n-1)\)에 대해서는 Pochhammer 기호와 캐츠(Kac) 기호 항목 참조
적분표현
\(\,_2F_1(a,b;c;z)=\frac{\Gamma(c)}{\Gamma(c-a)\Gamma(a)}\int_0^1t^{a-1}(1-t)^{c-a-1}(1-zt)^{-b}\,dt\)
초기하급수의 해석적확장을 통해 얻어진 함수를 초기하함수라 함
오일러, 가우스, 쿰머, 리만 등의 연구

초기하급수로 표현되는 함수의 예

많은 special function 은 초기하함수의 파라미터를 변화시켜 얻어짐
타원적분
\(K(k) =\frac{\pi}{2}\,_2F_1(\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;k^2)\)
\(E(k) =\frac{\pi}{2}\,_2F_1(\frac{1}{2},-\frac{1}{2};1;k^2)\)

피카드-Fuchs 미분방정식

\(\,_2F_1(a,b;c;z)\) 는 다음 미분방정식의 해가 된다
\(z(1-z)\frac{d^2w}{dz^2}+(c-(a+b+1)z)\frac{dw}{dz}-abw = 0\)
초기하 미분방정식(Hypergeometric differential equations) 참조

오일러의 항등식

\(_2F_1 (a,b;c;z) = (1-z)^{-a} {}_2F_1 (a, c-b;c ; \frac{z}{z-1})\)

\(_2F_1 (a,b;c;z) = (1-z)^{-b}{}_2F_1(c-a,b;c;\frac{z}{z-1})\)

\(_2F_1 (a,b;c;z) = (1-z)^{c-a-b}{}_2F_1 (c-a, c-b;c ; z)\)

(증명)

다음 적분표현을 활용

\(\,_2F_1(a,b;c;z)=\frac{\Gamma(c)}{\Gamma(c-a)\Gamma(a)}\int_0^1t^{a-1}(1-t)^{c-a-1}(1-zt)^{-b}\,dt\)

위의 우변에서 \(t\to 1-t\), \(t\to \frac{t}{1-z-tz}\), \(t\to \frac{1-t}{1-tz}\)의 변환을 이용하면 항등식이 얻어진다. ■

쿰머의 초기하 미분방정식(Hypergeometric differential equations)에 대한 24개의 해를 표현하는데 사용됨

contiguous 관계

두 초기하급수가 있을 때, 세 파라미터가 정수만큼 다른 경우 contiguous라 함
예
\(_2F_1(a,b;c;z)\)와 \(_2F_1(a\pm1,b;c;z)\)
\(_2F_1(a,b;c;z)\)와 \(_2F_1(a1,b;c\pm1;z)\)
\(_2F_1(a,b;c;z)\)와 contiguous 관계를 갖는 두 초기하급수가 있을 때, 이 세 초기하급수 사이에는 a,b,c,z를 계수로 갖는 선형종속 관계가 성립
\(a(z-1)F (a + 1, b; c; z) + (2a-c-az + bz)F(a, b; c; z) + (c - a)F(a - 1, b; c; z) = 0\)
\(aF(a + 1, b; c; z) - (c - 1)F (a, b; c - 1; z) + (c - a - 1)F (a, b; c; z) = 0\)
\(aF(a + 1, b; c; z) - bF(a, b + 1; c; z) + (b - a)F(a, b; c; z) = 0\)

타원적분과 초기하급수

제1종타원적분 K (complete elliptic integral of the first kind)
[[제1종타원적분 K (complete elliptic integral of the first kind)|]]\(K(k) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d\theta}{\sqrt{1-k^2 \sin^2\theta}} = \int_0^{\frac{\pi}{2}}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(\frac{1}{2})_n}{n!} k^{2n}\sin^{2n}\theta{d\theta} \)

(증명)

\(\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^{2n}\theta{d\theta}=\frac{\pi}{2}\frac{(\frac{1}{2})_n}{(1)_n}\) (감마함수) 이므로

\(K(k) = \frac{\pi}{2}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(\frac{1}{2})_n(\frac{1}{2})_n}{n!(1)_n}k^{2n} = \frac{\pi}{2}\,_2F_1(\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;k^2)\)

모듈라 함수와의 관계

라마누잔과 파이

special values

\(\,_2F_1(a,b;c;1)=\dfrac{\Gamma(c)\,\Gamma(c-a-b)}{\Gamma(c-a)\Gamma(c-b)}\)

\(\frac{\pi}{2}\,_2F_1(\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;\frac{1}{2})=K(\frac{1}{\sqrt{2}})=\frac{1}{4}B(1/4,1/4)=\frac{\Gamma(\frac{1}{4})^2}{4\sqrt{\pi}}=1.8540746773\cdots\)

\(_2F_1(\frac{1}{3},\frac{2}{3};\frac{5}{6};\frac{27}{32})=\frac{8}{5}\)

\(_2F_1(\frac{1}{4},\frac{1}{2};\frac{3}{4};\frac{80}{81})=\frac{9}{5}\)

\(_2F_1(\frac{1}{8},\frac{3}{8};\frac{1}{2};\frac{2400}{2401})=\frac{2}{3}\sqrt{7}\)

\(_2F_1(\frac{1}{6},\frac{1}{3};\frac{1}{2};\frac{25}{27})=\frac{3}{4}\sqrt{3}\)

\(_2F_1(\frac{1}{6},\frac{1}{2};\frac{2}{3};\frac{125}{128})=\frac{4}{3}\sqrt[6]2\)

\(_2F_1(\frac{1}{12},\frac{5}{12};\frac{1}{2};\frac{1323}{1331})=\frac{3}{4}\sqrt[4]{11}\)

\(_2F_1(\frac{1}{12},\frac{5}{12};\frac{1}{2};\frac{121}{125})=\frac{\sqrt[6]{2}\sqrt[4]{15}}{4\sqrt{\pi}}\frac{\Gamma(\frac{1}{3})^3}{\Gamma(\frac{1}{4})^2}(1+\sqrt{3})\)

http://mathworld.wolfram.com/HypergeometricFunction.html

재미있는 사실

네이버 지식인 http://kin.search.naver.com/search.naver?where=kin_qna&query=

역사

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메모

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사전 형태의 자료

expository articles

On the Kummer Solutions of the Hypergeometric Equation
- Reese T. Prosser, The American Mathematical Monthly, Vol. 101, No. 6 (Jun. - Jul., 1994), pp. 535-543

Ramanujan and hypergeometric and basic hypergeometric series
- R Askey 1990 Russ. Math. Surv. 45 37-86

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Mathematical Moments from the AMS
BetterExplained

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 <math>K(k) = \frac{\pi}{2}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(\frac{1}{2})_n(\frac{1}{2})_n}{n!(1)_n}k^{2n} = \frac{\pi}{2}\,_2F_1(\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;k^2)</math>
+<h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;">모듈라 함수와의 관계</h5>
+* [[라마누잔과 파이]]<br>
+*   <br>
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 * [http://dx.doi.org/10.1016/S0022-314X%2803%2900042-8 Exceptional sets of hypergeometric series]<br>
 **  Natália Archinard, Journal of Number Theory Volume 101, Issue 2, August 2003, Pages 244-269<br>
+* [http://books.google.com/books?id=Up-XxkiTtdsC&pg=PA148&lpg=PA148&dq=On+the+Algebraic+Independence+of+Numbers+Yu.V.+Nesterenko&source=bl&ots=yOVhiH5ukL&sig=x0GqVIluMqw-_Iaf3tXtKxam50Q&hl=ko&ei=KIwRTPiwB4rcNcSE8ccF&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=3&ved=0CCQQ6AEwAg#v=onepage&q=On%20the%20Algebraic%20Independence%20of%20Numbers%20Yu.V.%20Nesterenko&f=false On the Algebraic Independence of Numbers]<br>
+**  Yu.V. Nesterenko, in <em>A panorama in number theory, or, The view from Baker's garden</em> (by Alan Baker,Gisbert Wüstholz), 2002<br>
 * [http://dx.doi.org/10.1017/S0305004102005923 Special values of the hypergeometric series III]<br>