"오일러의 오각수정리(pentagonal number theorem)"의 두 판 사이의 차이

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<math>(1-x)(1-x^2)(1-x^3) \cdots = 1 - x - x^2 + x^5 + x^7 - x^{12} - x^{15} + x^{22} + x^{26} + \cdots</math>
 
<math>(1-x)(1-x^2)(1-x^3) \cdots = 1 - x - x^2 + x^5 + x^7 - x^{12} - x^{15} + x^{22} + x^{26} + \cdots</math>
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<h5 style="line-height: 2em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px;">오각수</h5>
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* [[자코비 세타함수]]<br>
 
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<h5 style="line-height: 3.428em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic', dotum, gulim, sans-serif; font-size: 1.166em; background-image: ; background-color: initial; background-position: 0px 100%;">사전 형태의 자료</h5>
 
<h5 style="line-height: 3.428em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic', dotum, gulim, sans-serif; font-size: 1.166em; background-image: ; background-color: initial; background-position: 0px 100%;">사전 형태의 자료</h5>
  
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* http://ko.wikipedia.org/wiki/
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* [http://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%98%A4%EA%B0%81%EC%88%98 http://ko.wikipedia.org/wiki/오각수]
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/pentagonal_number_theorem
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/pentagonal_number_theorem
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* http://en.wikipedia.org/wiki/Pentagonal_numbers
 
* http://www.wolframalpha.com/input/?i=pentagonal+numbers
 
* http://www.wolframalpha.com/input/?i=pentagonal+numbers
 
* [http://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions]
 
* [http://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions]
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* [http://arxiv.org/abs/math/0510054 Euler and the pentagonal number theorem]<br>
 
* [http://arxiv.org/abs/math/0510054 Euler and the pentagonal number theorem]<br>
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**  Bell, Jordan<br>
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**  Jordan Bell,  arXiv.org, 2005<br>
 
* [http://www.jstor.org/stable/2690367 Euler's Pentagonal Number Theorem]<br>
 
* [http://www.jstor.org/stable/2690367 Euler's Pentagonal Number Theorem]<br>
 
**  George E. Andrews, Mathematics Magazine, Vol. 56, No. 5 (Nov., 1983), pp. 279-284<br>
 
**  George E. Andrews, Mathematics Magazine, Vol. 56, No. 5 (Nov., 1983), pp. 279-284<br>

2009년 9월 5일 (토) 17:38 판

간단한 소개

\(\prod_{n=1}^\infty (1-x^n)=\sum_{k=-\infty}^\infty(-1)^kx^{k(3k-1)/2}\)

\((1-x)(1-x^2)(1-x^3) \cdots = 1 - x - x^2 + x^5 + x^7 - x^{12} - x^{15} + x^{22} + x^{26} + \cdots\)

 

 

오각수

[/pages/4145675/attachments/2083649 pentagonal-numbers.gif]

  • 1, 5, 12, 22, 35,...
  •  

 

 

 

증명
  • 자코비의 triple product의 특수한 경우임
    \(\prod_{m=1}^\infty \left( 1 - q^{2m}\right) \left( 1 + zq^{2m-1}\right) \left( 1 + z^{-1}q^{2m-1}\right)=\sum_{n=-\infty}^\infty z^{n}q^{n^2}\)
    \(q=x^{3/2}\), \(z=-x^{1/2}\)로 두면, 다음을 얻는다
    \(\operatorname{(LHS)}=\prod_{m=1}^\infty \left( 1 - x^{3m}\right) \left( 1 - x^{1/2}x^{3m-3/2}}\right) \left(1 - x^{-1/2}x^{3m-3/2}}\right)=\prod_{m=1}^\infty \left( 1 - x^{3m}\right) \left(1- x^{3m-1}}\right) \left(1 - x^{3m-2}}\right)\)
    \(\operatorname{(RHS)}=\sum_{n=-\infty}^\infty (-1)^{n}x^{n(3n-1)/2}\)

 

 

재미있는 사실

 

 

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