"오일러의 오각수정리(pentagonal number theorem)"의 두 판 사이의 차이

2009년 9월 5일 (토) 17:53 판

\(\prod_{n=1}^\infty (1-x^n)=\sum_{k=-\infty}^\infty(-1)^kx^{k(3k-1)/2}\)

\((1-x)(1-x^2)(1-x^3) \cdots = 1 - x - x^2 + x^5 + x^7 - x^{12} - x^{15} + x^{22} + x^{26} + \cdots\)

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자코비의 triple product의 특수한 경우임
\(\prod_{m=1}^\infty \left( 1 - q^{2m}\right) \left( 1 + zq^{2m-1}\right) \left( 1 + z^{-1}q^{2m-1}\right)=\sum_{n=-\infty}^\infty z^{n}q^{n^2}\)
\(q=x^{3/2}\), \(z=-x^{1/2}\)로 두면, 다음을 얻는다
\(\operatorname{(LHS)}=\prod_{m=1}^\infty \left( 1 - x^{3m}\right) \left( 1 - x^{1/2}x^{3m-3/2}}\right) \left(1 - x^{-1/2}x^{3m-3/2}}\right)=\prod_{m=1}^\infty \left( 1 - x^{3m}\right) \left(1- x^{3m-1}}\right) \left(1 - x^{3m-2}}\right)\)
\(\operatorname{(RHS)}=\sum_{n=-\infty}^\infty (-1)^{n}x^{n(3n-1)/2}\)

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-*  1, 5, 12, 22, 35,...<br>
+*  1, 5, 12, 22, 35,...<br><math>\frac{n(3n-1)}{2}</math><br>
-*   <br>
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 * [[자코비 세타함수]]<br>
+* [[정오각형]]<br>