이차곡선(원뿔곡선)

간단한 요약

• 일반적으로 \(ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0\)의 형태로 주어지기 때문에, 이차곡선이라고 부름.
• 이차곡선은 모두 다음과 같이 원뿔의 단면을 통해서 얻어지기 때문에, 원뿔곡선(원추곡선) 이라고 불려지기도 함.
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• 이 두 가지 관점을 모두 가지고 이해하는 것이 좋다.

배우기 전에 알고 있어야 하는 것들

• 좌표평면

 

중요한 개념 및 정리

• 판별식
  
  • 이차곡선이 \(ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0\)의 일반적인 형태로 주어졌을 때, 이 곡선이 어떤 형태인지를 알아볼 필요가 있음.
  • \(b^2-4ac\)
• 위와 같이 주어진 이차식은 다음과 같이 분류됨.
  
  • 두 직선의 방정식이 곱해진 경우
  • 포물선
  • 타원 (원은 타원의 특별한 경우)
    
  • 쌍곡선

 

재미있는 문제

• 타원의 면적
• 타원의 둘레의 길이
  
  • 타원적분

 

관련된 개념 및 나중에 더 배우게 되는 것들

• 변환
  
  • 평행이동
  • 회전변환

 

관련있는 다른 과목

• 물리
  
  • 중력과 행성운동
• 미술
  
  • 원근법

 

관련된 대학교 수학

• 선형대수학
  
  • 대칭행렬의 대각화
  • 고유벡터, 고유값
  • 이차형식의 대각화
• 대수기하학
  
  • 다항식으로 정의되는 도형에 대한 일반화 및 체계적인 공부

 

참고할만한 도서 및 자료

• 원뿔곡선 vs 이차곡선 (피타고라스의 창)