이항계수의 반전공식

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개요

• \(k=0,1,\cdots, n\) 에 대하여, \(a_0,\cdots,a_n\) 과 \(b_0,\cdots,b_n\) 이 다음 관계를 만족시킨다고 하자.
  \(a_k=\sum_{i=0}^{k}{k\choose i}b_i\)
  그러면
  \(b_k=\sum_{i=0}^{k}(-1)^{k-i}{k\choose i}a_i\) 가 성립한다.
  

 

 

행렬을 통한 이해

• n=5 인 경우
  \(\left( \begin{array}{cccccc} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 3 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 4 & 6 & 4 & 1 & 0 \\ 1 & 5 & 10 & 10 & 5 & 1 \end{array} \right)\) 의 역행렬은
  \(\left( \begin{array}{cccccc} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 3 & -3 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -4 & 6 & -4 & 1 & 0 \\ -1 & 5 & -10 & 10 & -5 & 1 \end{array} \right)\) 이다.
  

 

 

\(\sum_{k=m}^n (-1)^{k-m} \binom{k}{m} \binom{n}{k} = \delta_{mn}\)

 

 

 

역사

 

• http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
• 수학사연표

 

 

메모

• http://math.stackexchange.com/questions/55659/combinatorial-interpretation-of-binomial-inversion
• http://math.stackexchange.com/questions/4175/beautiful-identity-sum-k-mn-1k-m-binomkm-binomnk-delta
• Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=

 

 

관련된 항목들

• 삼각행렬
• 뫼비우스 함수와 반전공식

 

 

수학용어번역

• 단어사전
  
  • http://translate.google.com/#en%7Cko%7C
  • http://ko.wiktionary.org/wiki/
• 발음사전 http://www.forvo.com/search/
• 대한수학회 수학 학술 용어집
  
  • http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=
• 한국통계학회 통계학 용어 온라인 대조표
• 남·북한수학용어비교
• 대한수학회 수학용어한글화 게시판

 

 

 

사전 형태의 자료

• http://ko.wikipedia.org/wiki/
• http://en.wikipedia.org/wiki/
• The Online Encyclopaedia of Mathematics
• NIST Digital Library of Mathematical Functions
• The World of Mathematical Equations

 

 

 

 

 

관련논문

• http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
• http://www.ams.org/mathscinet
• http://dx.doi.org/

 

 

관련도서

• 도서내검색
  
  • http://books.google.com/books?q=
  • http://book.daum.net/search/contentSearch.do?query=