"자코비 다항식"의 두 판 사이의 차이

2010년 5월 2일 (일) 09:37 판

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개요

직교다항식

정의

초기하급수(Hypergeometric series)를 통해 정의된다
\(P_n^{(\alpha,\beta)}(z)=\frac{(\alpha+1)_n}{n!} \,_2F_1\left(-n,1+\alpha+\beta+n;\alpha+1;\frac{1-z}{2}\right)\)
다항식표현
\(P_n^{(\alpha,\beta)} (z) = \frac{\Gamma (\alpha+n+1)}{n!\Gamma (\alpha+\beta+n+1)} \sum_{m=0}^n {n\choose m} \frac{\Gamma (\alpha + \beta + n + m + 1)}{\Gamma (\alpha + m + 1)} \left(\frac{z-1}{2}\right)^m\)

3항 점화식

미분방정식

자 코비 다항식은 다음을 만족시킨다
\((1-x^2)y'' + ( \beta-\alpha - (\alpha + \beta + 2)x )y'+ n(n+\alpha+\beta+1) y = 0\)

직교성

weight함수와 구간
\(w(x) = (1-x)^{\alpha} (1+x)^{\beta}\)
\([-1,1]\)
\(m\neq n\) 일 때
\(\int_{-1}^1 (1-x)^{\alpha} (1+x)^{\beta} P_m^{(\alpha,\beta)} (x)P_n^{(\alpha,\beta)} (x) \; dx= 0\)
\(m=n\) 일 때
\(\int_{-1}^1 (1-x)^{\alpha} (1+x)^{\beta} P_m^{(\alpha,\beta)} (x)P_n^{(\alpha,\beta)} (x) \; dx= \frac{2^{\alpha+\beta+1}}{2n+\alpha+\beta+1} \frac{\Gamma(n+\alpha+1)\Gamma(n+\beta+1)}{\Gamma(n+\alpha+\beta+1)n!} \delta_{nm}\)
예
\(\int_{-1}^1 (1-x)^{\frac{1}{2}} (1+x)^{\frac{1}{2}} P_2^{(\frac{1}{2},\frac{1}{2})} (x)P_2^{(\frac{1}{2},\frac{1}{2})} (x) \; dx= \frac{4}{6} \frac{\Gamma(3+\frac{1}{2})\Gamma(3+\frac{1}{2})}{\Gamma(4)2!}=\frac{4(\frac{15\sqrt{\pi}}{8})^2}{12\cdot 3!}=\frac{25\pi}{128}\)

목록

P_0(z)=1
P_1(z)=1/2 (a-b+(2+a+b) z)
P_2(z)=1/2 (1+a) (2+a)+1/2 (2+a) (3+a+b) (-1+z)+1/8 (3+a+b) (4+a+b) (-1+z)^2
P_3(z)=1/6 (1+a) (2+a) (3+a)+1/4 (2+a) (3+a) (4+a+b) (-1+z)+1/8 (3+a) (4+a+b) (5+a+b) (-1+z)^2+1/48 (4+a+b) (5+a+b) (6+a+b) (-1+z)^3
P_4(z)=1/24 (1+a) (2+a) (3+a) (4+a)+1/12 (2+a) (3+a) (4+a) (5+a+b) (-1+z)+1/16 (3+a) (4+a) (5+a+b) (6+a+b) (-1+z)^2+1/48 (4+a) (5+a+b) (6+a+b) (7+a+b) (-1+z)^3+1/384 (5+a+b) (6+a+b) (7+a+b) (8+a+b) (-1+z)^4

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@@ 44번째 줄: / 44번째 줄: @@
 *  weight함수와 구간<br><math>w(x) = (1-x)^{\alpha} (1+x)^{\beta}</math><br><math>[-1,1]</math><br>
 * <math>m\neq n</math> 일 때<br><math>\int_{-1}^1 (1-x)^{\alpha} (1+x)^{\beta}   P_m^{(\alpha,\beta)} (x)P_n^{(\alpha,\beta)} (x) \; dx= 0</math><br>
-* <math>m=n</math> 일 때<br><math>\int_{-1}^1 (1-x)^{\alpha} (1+x)^{\beta}  P_m^{(\alpha,\beta)} (x)P_n^{(\alpha,\beta)} (x) \; dx= \frac{2^{\alpha+\beta+1}}{2n+\alpha+\beta+1} \frac{\Gamma(n+\alpha+1)\Gamma(n+\beta+1)}{\Gamma(n+\alpha+\beta+1)n!} \delta_{nm}</math><br> 예<br><math>\int_{-1}^1 (1-x)^{\frac{1}{2}} (1+x)^{\frac{1}{2}}   P_2^{(\frac{1}{2},\frac{1}{2})} (x)P_2^{(\frac{1}{2},\frac{1}{2})} (x) \; dx=  \frac{4}{6}  \frac{\Gamma(3+\frac{1}{2})\Gamma(3+\frac{1}{2})}{\Gamma(4)2!}=\frac{25\pi}{128}</math><br>
+* <math>m=n</math> 일 때<br><math>\int_{-1}^1 (1-x)^{\alpha} (1+x)^{\beta}  P_m^{(\alpha,\beta)} (x)P_n^{(\alpha,\beta)} (x) \; dx= \frac{2^{\alpha+\beta+1}}{2n+\alpha+\beta+1} \frac{\Gamma(n+\alpha+1)\Gamma(n+\beta+1)}{\Gamma(n+\alpha+\beta+1)n!} \delta_{nm}</math><br> 예 <br><math>\int_{-1}^1 (1-x)^{\frac{1}{2}} (1+x)^{\frac{1}{2}}   P_2^{(\frac{1}{2},\frac{1}{2})} (x)P_2^{(\frac{1}{2},\frac{1}{2})} (x) \; dx=  \frac{4}{6}  \frac{\Gamma(3+\frac{1}{2})\Gamma(3+\frac{1}{2})}{\Gamma(4)2!}=\frac{4(\frac{15\sqrt{\pi}}{8})^2}{12\cdot 3!}=\frac{25\pi}{128}</math><br>