작도문제와 구적가능성

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작도와 구적가능성

• 고대 그리스인들에게는 눈금없는 자와 컴파스로 하는 작도 문제가 중요
• 주어진 도형의 면적을 구하는 대신, 같은 면적을 갖는 정사각형을 작도하는 것으로 대신할 수 있음.
• 평면도형이 구적가능하다는 것은 자와 컴파스로 같은 면적을 갖는 정사각형을 작도할 수 있다는 말.
• 유명한 문제로 원의 구적, 즉 원과 같은 넓이의 정사각형 작도 문제가 있음.
  
  • 이 문제는 1882년이 되어서야 불가능한 것으로 해결됨.

 

 

대수적인 이해

• 자와 컴파스로 작도가능한 수는 유리수체로부터 시작하여, 그 원소들의 제곱근을 추가하여 얻어지는 체확장을 반복해서 만들어진 체

 

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에서 \(G=\sqrt{ab}\) 라는 사실을 통해, 주어진 수의 제곱근도 자와 컴파스로 작도가능함을 알 수 있다.

 

 

 

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• 작도문제와 구적가능성
  
  • 가우스와 정17각형의 작도
    
  • 그리스 3대 작도 불가능문제
    
    • 각의 삼등분(3등분, The trisection of an angle)
      
    • 두배의 부피를 갖는 정육면체(The duplication of the cube)
      
    • 원과 같은 넓이를 갖는 정사각형의 작도(원적문제 The quadrature of a circle)
      
  • 정다각형의 작도
    
  • 히포크라테스의 초승달
    

 

 

 

 

많이 나오는 질문

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관련된 고교수학 또는 대학수학

• 추상대수학
  
  • 갈루아이론과 깊은 관련이 있음

 

 

 

관련도서 및 추천도서

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사전형태의 자료

• http://en.wikipedia.org/wiki/geometric_construction

 

 

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