정다각형의 작도

개요

• 정n각형이 자와 컴파스로 작도가능 \(\iff\)\(n=2^k p_ 1 p_ 2 \cdots p_r\) (k ,r은 0이상의 정수, \(p_ 1, p_ 2, \cdots, p_r\) 은 서로 다른 페르마소수)
  
  • 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17, 20, 24, 30, 32, 34, 40, 48, 51, 60, 64, 68, 80, 85, 96, 102, 120, 128, 136, 160, 170, 192, 204, 240, 255, 256, 257, ... (Sloane's A003401)
  • 페르마소수란 \(2^{2^m}+1\) 형태의 소수
    
    • 3,5,17,257, 65537 다섯 가지만 알려져 있음.
• 정7각형은 작도가 불가능함.
• \(\cos {\frac{2\pi}{n}}\) 또는 \(\sin {\frac{2\pi}{n}}\) 의 값을, 유리수에서 시작하여, 사칙연산과 제곱근을 통해 표현할 수 있는가의 문제
  
  • \(\cos {\frac{2\pi}{3}} = -\frac{1}{2}\)
  • \(\cos {\frac{2\pi}{5}} = \frac{-1+\sqrt{5}}{4}\)
  • \(16\cos{2\pi\over17} = -1+\sqrt{17}+\sqrt{34-2\sqrt{17}}+ 2\sqrt{17+3\sqrt{17}-\sqrt{34-2\sqrt{17}}-2\sqrt{34+2\sqrt{17}}} \)

• 정오각형 와 가우스와 정17각형의 작도 항목을 참조.

역사

• 수학사연표

관련된 항목들

• 페르마소수
• 오일러의 totient 함수
• 가우스와 정17각형의 작도
• 그리스 3대 작도 불가능문제
• 정오각형
• 정칠각형
• 삼각함수의 값
• 복소수와 정다각형
• 렘니스케이트(lemniscate) 곡선과 타원적분

사전 형태의 자료

• http://ko.wikipedia.org/wiki/
• http://en.wikipedia.org/wiki/
• http://en.wikipedia.org/wiki/Constructible_polygon
• http://mathworld.wolfram.com/ConstructiblePolygon.html
• http://mathworld.wolfram.com/TrigonometryAnglesPi17.html
• http://www.wolframalpha.com/input/?i=
• NIST Digital Library of Mathematical Functions

관련논문

• Geometry and Number Theory on Clovers
  
  • David A. Cox and Jerry Shurman

• http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=

관련도서

• Introduction to Cyclotomic Fields
  
  • Lawrence C. Washington

블로그

• 정다각형의 작도
  
  • 정경훈, 네이버 오늘의 과학, 2009-9-29
• 정오각형 작도
  
  • 정경훈, 네이버 오늘의 과학, 2009-9-1\n