"합동수 문제 (congruent number problem)"의 두 판 사이의 차이

2010년 1월 13일 (수) 19:35 판

\(a^2 + b^2 &=& c^2\\ \frac{ab}{2} &=& n\)

다음 방정식이 만족됨을 알 수 있다.

\((\frac{a^2-b^2}{4})^2=(\frac{c}{2})^4-n^2\)

\(u=\frac{c}{2}\), \(v=\frac{a^2-b^2}{4}\) 로 두자.

디오판투스 방정식 \(u^4-n^2=v^2\) 가 유리해를 가짐을 알 수 있다.

\(u^4-n^2=v^2\)에서 \(u^6-n^2u^2=u^2v^2\) 를 얻은 뒤, \(x=u^2\), \(y=uv\) 로 두면, 다음 타원곡선의 방정식을 얻는다.

\(y^2=x^3-n^2x\)

따라서 세 변의 길이가 \(a,b,c\)이고 그 넓이가 \(n\)인 직각삼각형이 있으면, 타원곡선 \(y^2=x^3-n^2x\)의 유리해를 얻는다.
그러면 역으로 타원곡선 \(y^2=x^3-n^2x\)의 유리해가 있을때, 이러한 조건을 만족시키는 직각삼각형을 찾을 수 있을까?

(정리)

자연수 \(n\) 은 congruent number 이다 \(\iff\) 타원곡선 \(y^2=x^3-n^2x\) 이 \(y\neq0\)인 유리해를 갖는다.

\(\iff\) 타원곡선 \(y^2=x^3-n^2x\) 의 rank가 1이상이다.

\(y\neq0\)인 유리수해 \((x,y)\) 에 대하여

\(a=|\frac{n^2-x^2}{y}|\), \(b=|\frac{2nx}{y}|\), \(c=|\frac{n^2+x^2}{y}|\)

로 두면 각 변이 유리수 길이를 갖는 직각삼각형을 얻을 수 있다.

타원곡선 \(y^2=x^3-x\)의 유리수해는 다음과 같다
\(E(\mathbb Q)=\{(\infty,\infty), (0,0),(1,0),(-1,0)\} \)
따라서 n=1은 congruent number 가 아니다

5는 congruent number 이다
- 세 변의 길이가 다음과 같은 직각삼각형을 만들 수 있다
- \(\frac{41}{6},\frac{20}{3},\frac{3}{2}\)
- 5는 가장 작은 congruent number이다

@@ 7번째 줄: / 7번째 줄: @@
-<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">간단한 소개</h5>
+<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">개요</h5>
 * 자연수 중에서 세변이 모두 유리수 길이를 갖는 직각삼각형의 넓이로 나타날 수 있는 수를 congruent number라 함
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 자연수 <math>n</math> 은 congruent number 이다 <math>\iff</math> 타원곡선 <math>y^2=x^3-n^2x</math> 이 <math>y\neq0</math>인 유리해를 갖는다.
+ <math>\iff</math> 타원곡선 <math>y^2=x^3-n^2x</math> 의 rank가 1이상이다.