"정수계수 이변수 이차형식(binary integral quadratic forms)"의 두 판 사이의 차이

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*  이차형식의 동치류<br>
 
*  이차형식의 동치류<br>
 
**  다음 두 변환에 의한 이차형식은 모두 같은 동치류에 있다고 정의<br><math>x \to x+y</math> , <math>y \to y</math><br><math>x \to x</math>, <math>y \to x+y</math><br> 행렬로 표현하면 각각 다음과 같으며 [[모듈라 군(modular group)]]을 생성함<br><math>\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} </math>, <math>\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} </math><br>
 
**  다음 두 변환에 의한 이차형식은 모두 같은 동치류에 있다고 정의<br><math>x \to x+y</math> , <math>y \to y</math><br><math>x \to x</math>, <math>y \to x+y</math><br> 행렬로 표현하면 각각 다음과 같으며 [[모듈라 군(modular group)]]을 생성함<br><math>\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} </math>, <math>\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} </math><br>
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*  primitive <br> a,b,c 가 서로소인 이차형식<br>
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**  즉 <math>f(x,y)=g(ax+by,cx+dy)</math> 인 정수 <math>ad-bc= 1</math> 가 존재하면, <math>f\sim g</math> 이라 함<br>
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*   <br>
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*  primitive 이차형식<br><math>a,b,c</math> 가 서로소인 이차형식 <math>ax^2+bxy+cy^2</math><br>
  
 
 
 
 
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<h5>중요한 문제들</h5>
 
<h5>중요한 문제들</h5>
  
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* 주어진 이차형식이 표현할 수 있는 정수집합
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* 주어진 이차형식이 표현할 수 있는 정수집합<br>
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*  주어진 판별식<math>\Delta</math> 를 갖는 이차형식의 동치류를 분류하는 문제<br>
 
*  주어진 판별식<math>\Delta</math> 를 갖는 이차형식의 동치류를 분류하는 문제<br>
 
** <math>\Delta=b^2-4ac</math>를 만족시키는 모든 <math>ax^2+bxy+cy^2</math> 형태의 정수계수 다항식을 찾는 것<br>
 
** <math>\Delta=b^2-4ac</math>를 만족시키는 모든 <math>ax^2+bxy+cy^2</math> 형태의 정수계수 다항식을 찾는 것<br>

2009년 8월 10일 (월) 14:33 판

간단한 소개
  • \(ax^2+bxy+cy^2\) 형태의 정수계수 다항식
  • 자연수를 두 개의 제곱의 합으로 표현하는 문제에서 체계적인 연구가 시작

 

 

기본용어
  • 판별식
    \(\Delta=b^2-4ac\)
  • 이차형식의 동치류
    • 다음 두 변환에 의한 이차형식은 모두 같은 동치류에 있다고 정의
      \(x \to x+y\) , \(y \to y\)
      \(x \to x\), \(y \to x+y\)
      행렬로 표현하면 각각 다음과 같으며 모듈라 군(modular group)을 생성함
      \(\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \), \(\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \)
    • 즉 \(f(x,y)=g(ax+by,cx+dy)\) 인 정수 \(ad-bc= 1\) 가 존재하면, \(f\sim g\) 이라 함
  • primitive 이차형식
    \(a,b,c\) 가 서로소인 이차형식 \(ax^2+bxy+cy^2\)

 

중요한 문제들
  • 주어진 이차형식이 표현할 수 있는 정수집합
    •  
  • 주어진 판별식\(\Delta\) 를 갖는 이차형식의 동치류를 분류하는 문제
    • \(\Delta=b^2-4ac\)를 만족시키는 모든 \(ax^2+bxy+cy^2\) 형태의 정수계수 다항식을 찾는 것
    • 동치류의 개수를 주어진 판별식에 대한 class number 라 함

 

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