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<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">이 항목의 스프링노트 원문주소</h5>
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<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">이 항목의 스프링노트 원문주소==
  
 
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<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">개요</h5>
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<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">개요==
  
 
* 중력을 받고 있는 물체가 정지상태에서 출발하여 가장 짧은 시간내에 하강하기 위해서 따라야 하는 곡선
 
* 중력을 받고 있는 물체가 정지상태에서 출발하여 가장 짧은 시간내에 하강하기 위해서 따라야 하는 곡선
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* [[오일러-라그랑지 방정식]]
 
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<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">수학용어번역==
  
 
*  Brachistochrone curve<br>
 
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==사전 형태의 자료</h5>
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* http://ko.wikipedia.org/wiki/
 
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==관련논문</h5>
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==관련논문==
  
 
* [http://www.jstor.org/stable/4146894 The Brachistochrone Problem]<br>
 
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==관련도서</h5>
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==관련도서==
  
 
* http://books.google.com/books?id=dptKVr-5LJAC&pg=PA223&sig=PVA7Q1U_MyXinobyhOf54BwjShQ&hl=en#v=onepage&q&f=false
 
* http://books.google.com/books?id=dptKVr-5LJAC&pg=PA223&sig=PVA7Q1U_MyXinobyhOf54BwjShQ&hl=en#v=onepage&q&f=false
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==관련기사</h5>
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*  네이버 뉴스 검색 (키워드 수정)<br>
 
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==링크</h5>
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==링크==
  
 
* [http://curvebank.calstatela.edu/brach/brach.htm The Brachistochrone]
 
* [http://curvebank.calstatela.edu/brach/brach.htm The Brachistochrone]

2012년 11월 1일 (목) 13:05 판

이 항목의 스프링노트 원문주소==    
개요==
  • 중력을 받고 있는 물체가 정지상태에서 출발하여 가장 짧은 시간내에 하강하기 위해서 따라야 하는 곡선
  • 1697년에 베르누이에 의하여 답이 출판
    [/pages/4402517/attachments/3980829 ParabNickF.gif]
    [1] 곡선의 시작점을 \((x_0,y_0)=(0,0)\), 끝점을 \((x_1,y_1)\)라 두자. 곡선을 따라 내려올때 걸리는 시간은 다음과 같이 구할 수 있다. \(t=\int \frac{1}{v} \, ds\)(v는 속력, ds 는 길이요소, t는 시간) 에너지 보존 법칙 \(mgy=\frac{1}{2}mv^2\)  에서\(v=\sqrt{2gy}\). 이제 곡선의 x좌표를 y의 함수로 생각하자. 곡선을 따라 내려올 때 걸리는 시간은 \(T=\int \frac{1}{v} \, ds=\frac{1}{\sqrt{2g}}\int_{0}^{y} \frac{\sqrt{1+x'(y)^2}}{\sqrt{y}} \, dy\) 문제의 정의에 따라 이 적분값을 최소가 되게 하는 곡선을 찾아야 한다. \(F(y,x,x')=\frac{\sqrt{1+(x')^2}}{\sqrt{y}}\) 에 대하여 오일러-라그랑지 방정식 을 적용하면, \(0 =\frac{\partial F}{\partial x} - \frac{d}{dy} \frac{\partial F}{\partial x'}=-\frac{d}{dy}(\frac{x'(y)}{\sqrt{y(1+x'(y)^2)}})\) 적당한 상수 a에 대하여 \(\frac{x'(y)}{\sqrt{y(1+x'(y)^2)}}=\frac{1}{\sqrt{2a}}\)라 두자. 이를 풀면 미분방정식  \(\frac{dx}{dy}=\sqrt{{\frac{y}{2a-y}}\) 를 얻는다. (미분방정식의 여러 해에 대한 논의는 http://whistleralley.com/brachistochrone/brachistochrone.htm)  \(x=\int_{0}^{y}\sqrt{\frac{y}{2a-y}}dy\) \(y=2a\sin^2\frac{\theta}{2}=a(1-\cos\theta)\)로 치환하면, \(x=a(\theta-\sin\theta)\)를 얻는다. 여기서 상수 a는 주어진 점 \((x_1,y_1)\)를 지날 수 있는 값으로 결정된다. 따라서 사이클로이드를 얻었다.■    

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