"타원 둘레의 길이"의 두 판 사이의 차이
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<h5>타원 둘레 길이의 유도</h5> | <h5>타원 둘레 길이의 유도</h5> | ||
| − | * 타원 <math>\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1</math>의 둘레의 길이는 다음과 주어짐.<br> | + | * 타원 <math>\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1</math>의 둘레의 길이는 다음과 주어짐. 여기서 <math>a>b</math>라 가정.<br> |
| − | * | + | * 매개화는 <math>x=a \sin \theta</math>, <math>y=b \cos \theta</math>, <math>0\leq \theta \leq 2\pi</math> 로 주어짐 |
* 둘레의 길이는 <math>4aE(k)</math>로 주어진다. 여기서 E는 [[제2종타원적분 E (complete elliptic integral of the second kind)]]<br> | * 둘레의 길이는 <math>4aE(k)</math>로 주어진다. 여기서 E는 [[제2종타원적분 E (complete elliptic integral of the second kind)]]<br> | ||
* 유도과정<br> | * 유도과정<br> | ||
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<math>=4\int^{\frac{\pi}{2}}_{0}a\sqrt{1-(1-\frac{b^2}{a^2})\sin^2\theta}d\theta=4a\int^{\frac{\pi}{2}}_{0}\sqrt{1-k^2\sin^2\theta}d\theta=4aE(k)</math> | <math>=4\int^{\frac{\pi}{2}}_{0}a\sqrt{1-(1-\frac{b^2}{a^2})\sin^2\theta}d\theta=4a\int^{\frac{\pi}{2}}_{0}\sqrt{1-k^2\sin^2\theta}d\theta=4aE(k)</math> | ||
| − | <math>k=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}</math> | + | <math>k=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}</math> 는 타원의 이심률 |
<math>E(k)=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{1-k^2\sin^2 \theta} d\theta =\int_{0}^{1}\frac{\sqrt{1-k^2x^2}}{\sqrt{1-x^2}} dx=\int_{0}^{1}\frac{1-k^2x^2}{\sqrt{(1-x^2)(1-k^2x^2)}}\,dx</math> | <math>E(k)=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{1-k^2\sin^2 \theta} d\theta =\int_{0}^{1}\frac{\sqrt{1-k^2x^2}}{\sqrt{1-x^2}} dx=\int_{0}^{1}\frac{1-k^2x^2}{\sqrt{(1-x^2)(1-k^2x^2)}}\,dx</math> | ||
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* http://www.wolframalpha.com/input/?i= | * http://www.wolframalpha.com/input/?i= | ||
* [http://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions] | * [http://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions] | ||
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2012년 6월 8일 (금) 17:12 판
이 항목의 스프링노트 원문주소
개요
- 초등함수를 사용하여 닫힌형태로 표현할 수 없고, 타원적분이 필요하다
- 역사적으로 타원의 둘레의 길이를 구하는 적분에서 타원적분의 이름이 붙여짐
타원 둘레 길이의 유도
- 타원 \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)의 둘레의 길이는 다음과 주어짐. 여기서 \(a>b\)라 가정.
- 매개화는 \(x=a \sin \theta\), \(y=b \cos \theta\), \(0\leq \theta \leq 2\pi\) 로 주어짐
- 둘레의 길이는 \(4aE(k)\)로 주어진다. 여기서 E는 제2종타원적분 E (complete elliptic integral of the second kind)
- 유도과정
\(4\int^{\frac{\pi}{2}}_{0}\sqrt{a^2\cos^2\theta+b^2\sin^2\theta}d\theta=4\int^{\frac{\pi}{2}}_{0}\sqrt{a^2+(b^2-a^2)\sin^2\theta}d\theta\)
\(=4\int^{\frac{\pi}{2}}_{0}a\sqrt{1-(1-\frac{b^2}{a^2})\sin^2\theta}d\theta=4a\int^{\frac{\pi}{2}}_{0}\sqrt{1-k^2\sin^2\theta}d\theta=4aE(k)\)
\(k=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\) 는 타원의 이심률
\(E(k)=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{1-k^2\sin^2 \theta} d\theta =\int_{0}^{1}\frac{\sqrt{1-k^2x^2}}{\sqrt{1-x^2}} dx=\int_{0}^{1}\frac{1-k^2x^2}{\sqrt{(1-x^2)(1-k^2x^2)}}\,dx\)
역사
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