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<h5 style="line-height: 3.428em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic', dotum, gulim, sans-serif; font-size: 1.166em; background-image: ; background-color: initial; background-position: 0px 100%;">이 항목의 스프링노트 원문주소</h5>
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* [[타원적분]] 으로 통합
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* [[타원적분(통합됨)|타원적분]]
 
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<h5>타원 둘레의 길이</h5>
 
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* 역사적으로 [[타원 둘레의 길이]]를 구하는 적분에서 그 이름이 기원함.
 
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*  타원  <math>\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1</math>의 둘레의 길이는 <math>4aE(k)</math> 로 주어짐.<br><math>k=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}</math><br><math>E(k)=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{1-k^2\sin^2 \theta} d\theta =\int_{0}^{1}\frac{\sqrt{1-k^2x^2}}{\sqrt{1-x^2}} dx=\int_{0}^{1}\frac{1-k^2x^2}{\sqrt{(1-x^2)(1-k^2x^2)}}\,dx</math><br>
 
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<h5>타원적분</h5>
 
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* 일반적으로 다음과 같은 형태로 주어지는 적분을 타원적분이라 부름
 
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<math>\int R(x,y)\,dx</math>
 
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여기서 <math>R(x,y)</math>는 <math>x,y</math>의 유리함수이고, <math>y^2</math>는 중근을 갖지 않는 <math>x</math>의 3차식 또는 4차식으로 주어짐.
 
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*  예를 들자면,<br>  <math>\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}</math><br><math>\int \frac{1-k^2x^2}{\sqrt{(1-x^2)(1-k^2x^2)}}\,dx</math><br>  <br>
 
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<h5>일종타원적분과 이종타원적분</h5>
 
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* [[제1종타원적분 K (complete elliptic integral of the first kind)|일종타원적분 K (complete elliptic integral of the first kind)]]<br><math>K(k) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d\theta}{\sqrt{1-k^2 \sin^2\theta}}=\int_0^1\frac{1}{\sqrt{(1-x^2)(1-k^2x^2)}}\,dx</math><br>
 
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*  이종완전타원적분<br><math>E(k)=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{1-k^2\sin^2 \theta} d\theta =\int_{0}^{1}\frac{\sqrt{1-k^2x^2}}{\sqrt{1-x^2}} dx=\int_{0}^{1}\frac{1-k^2x^2}{\sqrt{(1-x^2)(1-k^2x^2)}}\,dx</math><br>
 
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<h5>르장드르의 항등식</h5>
 
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:* 일종타원적분과 이종타원적분 사이에는 다음과 같은 관계가 성립
 
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<math>E(k)K'(k)+E'(k)K(k)-K(k)K'(k)=\frac{\pi}{2}</math>
 
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또는 <math>\theta+\phi=\frac{\pi}{2}</math> 에 대하여
 
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<math>E(\sin\theta)K(\sin\phi)+E(\sin\phi)K(\sin\theta)-K(\sin\theta)K(\sin\phi)=\frac{\pi}{2}</math>
 
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*  특별히 다음과 같은 관계가 성립함<br>
 
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<math>2K(\frac{1}{\sqrt{2}})E(\frac{1}{\sqrt{2}})-K(\frac{1}{\sqrt{2}})^2=\frac{\pi}{2}</math>
 
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[[산술기하평균함수(AGM)와 파이값의 계산|AGM과 파이값의 계산]]에 응용
 
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<h5>덧셈공식</h5>
 
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*  파그나노의 공식<br><math>\int_0^x{\frac{1}{\sqrt{1-x^4}}}dx+\int_0^y{\frac{1}{\sqrt{1-x^4}}}dx = \int_0^{A(x,y)}{\frac{1}{\sqrt{1-x^4}}}dx</math><br> 여기서 <math>A(x,y)=\frac{x\sqrt{1-y^4}+y\sqrt{1-x^4}}{1+x^2y^2}</math><br>
 
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*  오일러의 일반화<br><math>p(x)=1+mx^2+nx^4</math>일 때,<br><math>\int_0^x{\frac{1}{\sqrt{p(x)}}}dx+\int_0^y{\frac{1}{\sqrt{p(x)}}}dx = \int_0^{B(x,y)}{\frac{1}{\sqrt{p(x)}}}dx</math><br> 여기서 <math>B(x,y)=\frac{x\sqrt{p(y)}+y\sqrt{p(x)}}{1-nx^2y^2}</math><br>
 
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<h5>메모</h5>
 
  
 
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<h5>관련된 다른 주제들</h5>
 
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* [[타원적분|타원적분, 타원함수, 타원곡선]]<br>
 
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** [[렘니스케이트(lemniscate) 곡선의 길이와 타원적분|lemniscate 적분]]
 
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** [[타원함수]]
 
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** [[타원곡선]]
 
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** [[란덴변환(Landen's transformation)|랜든변환(Landen's transformation)]]
 
−
* [[자코비 세타함수]]
 
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* [[초기하급수(Hypergeometric series)|초기하급수(Hypergeometric series)와 q-초기하급수]]
 
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* [[대수적 함수와 아벨적분]]
 
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<h5>표준적인 도서 및 추천도서</h5>
 
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* [http://www.amazon.com/Functions-Integrals-Translations-Mathematical-Monographs/dp/0821805878 Elliptic functions and elliptic integrals]<br>
 
−
** Viktor Prasolov, Yuri Solovyev
 
−
* [http://www.amazon.com/PI-AGM-Analytic-Computational-Complexity/dp/047131515X Pi and the AGM]<br>
 
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** Jonathan M. Borwein, Peter B. Borwein
 
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<h5>위키링크</h5>
 
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* http://en.wikipedia.org/wiki/Elliptic_integral
 
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<h5>관련논문</h5>
 
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* [http://www.springerlink.com/content/b365w3511067g184/ In Search of the "Birthday" of Elliptic Functions - Bit by bit, the discoverers decided what it was they had discovered.]<br>
 
−
**  Rice, Adrian, 48-57, The Mathematical Intelligencer, Volume 30, Number 2 / 2008년 3월<br>
 
−
* [http://www.ams.org/bull/2007-44-04/S0273-0979-07-01178-0/home.html Euler and algebraic geometry]<br>
 
−
**  Burt Totaro, Bull. Amer. Math. Soc. 44 (2007), 541-559.<br>
 
−
* [http://www.springerlink.com/content/t32h69374h887w33/ The Lemniscate and Fagnano's Contributions to Elliptic Integrals]<br>
 
−
** AYOUB R
 
−
* [http://www.math.tulane.edu/%7Evhm/papers_html/EU.pdf A property of Euler's elastic curve]
 
−
* [http://www.springerlink.com/content/911pnwauaeggxk13/ The story of Landen, the hyperbola and the ellipse]<br>
 
−
** Elemente der Mathematik, Volume 57, Number 1 / 2002년 2월
 

2012년 8월 26일 (일) 05:07 판


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