"파피안(Pfaffian)"의 두 판 사이의 차이
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* 교대행렬에 대해, 이 행렬식의 제곱근의 하나를 파피안으로 정의한다. | * 교대행렬에 대해, 이 행렬식의 제곱근의 하나를 파피안으로 정의한다. | ||
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* 정의<br><math>\operatorname{pf}(A) = \frac{1}{2^n n!}\sum_{\sigma\in S_{2n}}\operatorname{sgn}(\sigma)\prod_{i=1}^{n}a_{\sigma(2i-1),\sigma(2i)}</math><br> | * 정의<br><math>\operatorname{pf}(A) = \frac{1}{2^n n!}\sum_{\sigma\in S_{2n}}\operatorname{sgn}(\sigma)\prod_{i=1}^{n}a_{\sigma(2i-1),\sigma(2i)}</math><br> | ||
| − | * n=1인 경우<br> | + | * n=1인 경우<br><math>t_{1,2}</math><br> |
* n=2인 경우<br><math>t_{1,4} t_{2,3}-t_{1,3} t_{2,4}+t_{1,2} t_{3,4}</math><br> | * n=2인 경우<br><math>t_{1,4} t_{2,3}-t_{1,3} t_{2,4}+t_{1,2} t_{3,4}</math><br> | ||
* n=3 인 경우<br><math>t_{1,6} t_{2,5} t_{3,4}-t_{1,5} t_{2,6} t_{3,4}-t_{1,6} t_{2,4} t_{3,5}+t_{1,4} t_{2,6} t_{3,5}+t_{1,5} t_{2,4} t_{3,6}-t_{1,4} t_{2,5} t_{3,6}+t_{1,6} t_{2,3} t_{4,5}-t_{1,3} t_{2,6} t_{4,5}+t_{1,2} t_{3,6} t_{4,5}-t_{1,5} t_{2,3} t_{4,6}+t_{1,3} t_{2,5} t_{4,6}-t_{1,2} t_{3,5} t_{4,6}+t_{1,4} t_{2,3} t_{5,6}-t_{1,3} t_{2,4} t_{5,6}+t_{1,2} t_{3,4} t_{5,6}</math><br> | * n=3 인 경우<br><math>t_{1,6} t_{2,5} t_{3,4}-t_{1,5} t_{2,6} t_{3,4}-t_{1,6} t_{2,4} t_{3,5}+t_{1,4} t_{2,6} t_{3,5}+t_{1,5} t_{2,4} t_{3,6}-t_{1,4} t_{2,5} t_{3,6}+t_{1,6} t_{2,3} t_{4,5}-t_{1,3} t_{2,6} t_{4,5}+t_{1,2} t_{3,6} t_{4,5}-t_{1,5} t_{2,3} t_{4,6}+t_{1,3} t_{2,5} t_{4,6}-t_{1,2} t_{3,5} t_{4,6}+t_{1,4} t_{2,3} t_{5,6}-t_{1,3} t_{2,4} t_{5,6}+t_{1,2} t_{3,4} t_{5,6}</math><br> | ||
2011년 11월 21일 (월) 10:40 판
이 항목의 수학노트 원문주소
개요
- 교대행렬(alternating matrix, 또는 skew-symmetric matrix)의 행렬식은 어떤 다항식의 제곱이 되는 성질을 가진다
- 교대행렬에 대해, 이 행렬식의 제곱근의 하나를 파피안으로 정의한다.
- \( \operatorname{pf(A)}^2=\operatorname{det(A)}\)
교대행렬과 행렬식
- 2×2 교대행렬
\(\left( \begin{array}{cc} 0 & t_{1,2} \\ -t_{1,2} & 0 \end{array} \right)\) 의 행렬식 \(t_{1,2}^2\) - 4×4 교대행렬
\(\left( \begin{array}{cccc} 0 & t_{1,2} & t_{1,3} & t_{1,4} \\ -t_{1,2} & 0 & t_{2,3} & t_{2,4} \\ -t_{1,3} & -t_{2,3} & 0 & t_{3,4} \\ -t_{1,4} & -t_{2,4} & -t_{3,4} & 0 \end{array} \right)\), 행렬식 \(\left(t_{1,4} t_{2,3}-t_{1,3} t_{2,4}+t_{1,2} t_{3,4}\right){}^2\) - 6×6 교대행렬
\(\left( \begin{array}{cccccc} 0 & t_{1,2} & t_{1,3} & t_{1,4} & t_{1,5} & t_{1,6} \\ -t_{1,2} & 0 & t_{2,3} & t_{2,4} & t_{2,5} & t_{2,6} \\ -t_{1,3} & -t_{2,3} & 0 & t_{3,4} & t_{3,5} & t_{3,6} \\ -t_{1,4} & -t_{2,4} & -t_{3,4} & 0 & t_{4,5} & t_{4,6} \\ -t_{1,5} & -t_{2,5} & -t_{3,5} & -t_{4,5} & 0 & t_{5,6} \\ -t_{1,6} & -t_{2,6} & -t_{3,6} & -t_{4,6} & -t_{5,6} & 0 \end{array} \right)\),
행렬식 \(\left(t_{1,6} t_{2,5} t_{3,4}-t_{1,5} t_{2,6} t_{3,4}-t_{1,6} t_{2,4} t_{3,5}+t_{1,4} t_{2,6} t_{3,5}+t_{1,5} t_{2,4} t_{3,6}-t_{1,4} t_{2,5} t_{3,6}+t_{1,6} t_{2,3} t_{4,5}-t_{1,3} t_{2,6} t_{4,5}+t_{1,2} t_{3,6} t_{4,5}-t_{1,5} t_{2,3} t_{4,6}+t_{1,3} t_{2,5} t_{4,6}-t_{1,2} t_{3,5} t_{4,6}+t_{1,4} t_{2,3} t_{5,6}-t_{1,3} t_{2,4} t_{5,6}+t_{1,2} t_{3,4} t_{5,6}\right){}^2\)
파피안
- 정의
\(\operatorname{pf}(A) = \frac{1}{2^n n!}\sum_{\sigma\in S_{2n}}\operatorname{sgn}(\sigma)\prod_{i=1}^{n}a_{\sigma(2i-1),\sigma(2i)}\) - n=1인 경우
\(t_{1,2}\) - n=2인 경우
\(t_{1,4} t_{2,3}-t_{1,3} t_{2,4}+t_{1,2} t_{3,4}\) - n=3 인 경우
\(t_{1,6} t_{2,5} t_{3,4}-t_{1,5} t_{2,6} t_{3,4}-t_{1,6} t_{2,4} t_{3,5}+t_{1,4} t_{2,6} t_{3,5}+t_{1,5} t_{2,4} t_{3,6}-t_{1,4} t_{2,5} t_{3,6}+t_{1,6} t_{2,3} t_{4,5}-t_{1,3} t_{2,6} t_{4,5}+t_{1,2} t_{3,6} t_{4,5}-t_{1,5} t_{2,3} t_{4,6}+t_{1,3} t_{2,5} t_{4,6}-t_{1,2} t_{3,5} t_{4,6}+t_{1,4} t_{2,3} t_{5,6}-t_{1,3} t_{2,4} t_{5,6}+t_{1,2} t_{3,4} t_{5,6}\)
역사
메모
- number of perfect matchings on a planar rectangular lattice
- every non-zero term in the Pfaffian of the adjacency matrix of a graph G corresponds to a perfect matching.
- 통계물리에서 중요한 역할
- 도미노 타일링
- 다이머 모델
- 매스매티카 코드 http://en.wikipedia.org/wiki/Talk%3APfaffian#Mathematica_code
- http://www.science.uva.nl/onderwijs/thesis/centraal/files/f887198315.pdf
관련된 항목들
수학용어번역
- 단어사전 http://www.google.com/dictionary?langpair=en%7Cko&q=
- 발음사전 http://www.forvo.com/search/
- 대한수학회 수학 학술 용어집
- 남·북한수학용어비교
- 대한수학회 수학용어한글화 게시판
사전 형태의 자료
관련논문
- Wu, F. Y. 2006. “Pfaffian solution of a dimer-monomer problem: Single monomer on the boundary.” Physical Review E 74 (2): 020104. doi:10.1103/PhysRevE.74.020104.
- http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
- http://www.ams.org/mathscinet
- http://dx.doi.org/
관련도서
- Barry M McCoy, Advanced Statistical Mechanics
- The Pfaffian solution of the Ising model DOI:10.1093/acprof:oso/9780199556632.003.0011
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