파피안(Pfaffian)

이 항목의 수학노트 원문주소

• 파피안(Pfaffian)

 

 

==개요

• 교대행렬(alternating matrix, 또는 skew-symmetric matrix)의 행렬식은 어떤 다항식의 제곱이 되는 성질을 가진다
• 교대행렬에 대해, 이 행렬식의 제곱근의 하나를 파피안으로 정의한다.
• \( \operatorname{pf(A)}^2=\operatorname{det(A)}\)
• \(\operatorname{pf}(BAB^T)= \det(B)\operatorname{pf}(A)\)

 

 

 

교대행렬과 행렬식

• 2×2 교대행렬
  \(\left( \begin{array}{cc} 0 & t_{1,2} \\ -t_{1,2} & 0 \end{array} \right)\) 의 행렬식 \(t_{1,2}^2\)
  
• 4×4 교대행렬
  \(\left( \begin{array}{cccc} 0 & t_{1,2} & t_{1,3} & t_{1,4} \\ -t_{1,2} & 0 & t_{2,3} & t_{2,4} \\ -t_{1,3} & -t_{2,3} & 0 & t_{3,4} \\ -t_{1,4} & -t_{2,4} & -t_{3,4} & 0 \end{array} \right)\), 행렬식 \(\left(t_{1,4} t_{2,3}-t_{1,3} t_{2,4}+t_{1,2} t_{3,4}\right){}^2\)
  
• 6×6 교대행렬
  \(\left( \begin{array}{cccccc} 0 & t_{1,2} & t_{1,3} & t_{1,4} & t_{1,5} & t_{1,6} \\ -t_{1,2} & 0 & t_{2,3} & t_{2,4} & t_{2,5} & t_{2,6} \\ -t_{1,3} & -t_{2,3} & 0 & t_{3,4} & t_{3,5} & t_{3,6} \\ -t_{1,4} & -t_{2,4} & -t_{3,4} & 0 & t_{4,5} & t_{4,6} \\ -t_{1,5} & -t_{2,5} & -t_{3,5} & -t_{4,5} & 0 & t_{5,6} \\ -t_{1,6} & -t_{2,6} & -t_{3,6} & -t_{4,6} & -t_{5,6} & 0 \end{array} \right)\),
  행렬식 \(\left(t_{1,6} t_{2,5} t_{3,4}-t_{1,5} t_{2,6} t_{3,4}-t_{1,6} t_{2,4} t_{3,5}+t_{1,4} t_{2,6} t_{3,5}+t_{1,5} t_{2,4} t_{3,6}-t_{1,4} t_{2,5} t_{3,6}+t_{1,6} t_{2,3} t_{4,5}-t_{1,3} t_{2,6} t_{4,5}+t_{1,2} t_{3,6} t_{4,5}-t_{1,5} t_{2,3} t_{4,6}+t_{1,3} t_{2,5} t_{4,6}-t_{1,2} t_{3,5} t_{4,6}+t_{1,4} t_{2,3} t_{5,6}-t_{1,3} t_{2,4} t_{5,6}+t_{1,2} t_{3,4} t_{5,6}\right){}^2\)
  

 

 

파피안

• \(A=(t_{i,j})\) 로 주어진 교대행렬에 대하여 파피안을 다음과 같이 정의함
  \(\operatorname{pf}(A) = \frac{1}{2^n n!}\sum_{\sigma\in S_{2n}}\operatorname{sgn}(\sigma)\prod_{i=1}^{n}t_{\sigma(2i-1),\sigma(2i)}\)
  
• n=1인 경우
  \(t_{1,2}\)
  
• n=2인 경우
  \(t_{1,4} t_{2,3}-t_{1,3} t_{2,4}+t_{1,2} t_{3,4}\)
  
• n=3 인 경우
  \(t_{1,6} t_{2,5} t_{3,4}-t_{1,5} t_{2,6} t_{3,4}-t_{1,6} t_{2,4} t_{3,5}+t_{1,4} t_{2,6} t_{3,5}+t_{1,5} t_{2,4} t_{3,6}-t_{1,4} t_{2,5} t_{3,6}+t_{1,6} t_{2,3} t_{4,5}-t_{1,3} t_{2,6} t_{4,5}+t_{1,2} t_{3,6} t_{4,5}-t_{1,5} t_{2,3} t_{4,6}+t_{1,3} t_{2,5} t_{4,6}-t_{1,2} t_{3,5} t_{4,6}+t_{1,4} t_{2,3} t_{5,6}-t_{1,3} t_{2,4} t_{5,6}+t_{1,2} t_{3,4} t_{5,6}\)
  

 

 

==역사

 

• http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
• 수학사연표

 

 

==메모

• number of perfect matchings on a planar rectangular lattice
• every non-zero term in the Pfaffian of the adjacency matrix of a graph G corresponds to a perfect matching.
• 통계물리에서 중요한 역할
• 도미노 타일링
• 다이머 모델
• 매스매티카 코드 http://en.wikipedia.org/wiki/Talk%3APfaffian#Mathematica_code
• http://www.science.uva.nl/onderwijs/thesis/centraal/files/f887198315.pdf

 

 

==매스매티카 파일 및 계산 리소스

• https://docs.google.com/leaf?id=0B8XXo8Tve1cxN2RmNDAyYzItYjlmYy00MzM5LWJkZmQtYjdjOWZhNjM3MTI0&sort=name&layout=list&num=50
• http://www.wolframalpha.com/input/?i=
• http://functions.wolfram.com/
• NIST Digital Library of Mathematical Functions
• Abramowitz and Stegun Handbook of mathematical functions
• The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
• Numbers, constants and computation
• 매스매티카 파일 목록

 

 

 

==관련된 항목들

•  

 

 

수학용어번역

• 단어사전 http://www.google.com/dictionary?langpair=en%7Cko&q=
• 발음사전 http://www.forvo.com/search/
• 대한수학회 수학 학술 용어집
  
  • http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=
• 남·북한수학용어비교
• 대한수학회 수학용어한글화 게시판

 

 

 

==사전 형태의 자료

• http://en.wikipedia.org/wiki/Pfaffian
• http://en.wikipedia.org/wiki/FKT_algorithm

 

 

==관련논문

• Wu, F. Y. 2006. “Pfaffian solution of a dimer-monomer problem: Single monomer on the boundary.” Physical Review E 74 (2): 020104. doi:10.1103/PhysRevE.74.020104.
  
• http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
• http://www.ams.org/mathscinet
• http://dx.doi.org/

 

 

==관련도서

• Barry M McCoy, Advanced Statistical Mechanics
  
  • The Pfaffian solution of the Ising model DOI:10.1093/acprof:oso/9780199556632.003.0011
• 도서내검색
  
  • http://books.google.com/books?q=
  • http://book.daum.net/search/contentSearch.do?query=

 

 

==링크

• Summaries of Media Coverage of Math
• 구글 블로그 검색
  
  • http://blogsearch.google.com/blogsearch?q=