"엡슈타인 제타함수"의 두 판 사이의 차이

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(피타고라스님이 이 페이지의 이름을 Epstein 제타함수와 크로네커 극한 공식로 바꾸었습니다.)
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<h5 style="line-height: 2em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px;">이차형식과 L-function</h5>
 
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*  양의 정부호인 정수계수이차형식 <math>Q(X,Y)=aX^2+2bXY+cY^2</math> (즉<math>a>0</math>, <math>m=b^2-ac>0</math>) 에 대하여 다음과 같은 함수를 정의<br><math>E_Q(s) =\sum_{(X,Y)\ne (0,0)}\frac{1}{(aX^2+2bXY+cy^2)^s}</math><br>
 
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(정리)
 
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<math>E_Q(s) ={\frac{\pi}{\sqrt{m}}\frac{1}{s-1} + 2\pi\gamma+\frac{\pi}{\sqrt{m}}\ln \frac{a}{4m}-\frac{2\pi}{\sqrt{m}}\ln\eta(\tau_1)\eta(\tau_2) +O(s-1)</math>
 
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여기서 
 
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<math>\gamma</math> 는 [[오일러상수, 감마]]
 
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<math>\tau_1=\frac{b+i\sqrt{m}}{a}</math>, <math>\tau_2=\frac{-b+i\sqrt{m}}{a}</math>
 
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<math>\eta(\tau)</math>는 [[데데킨트 에타함수]].
 
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(따름정리)
 
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판별식이 같은 즉 <math>m=b_1^2-a_1c_1=b_2^2-a_2c_2</math> 인 두 이차형식 <math>Q_1(X,Y)=a_1X^2+2b_1XY+c_1Y^2</math>와  <math>Q_2(X,Y)=a_2X^2+2b_2XY+c_2Y^2</math> 에 대하여,
 
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<math>\lim_{s\to1^{+}}E_{Q_1}(s)-E_{Q_2}(s) = \sum_{(X,Y)\ne (0,0)}\{\frac{1}{(a_1X^2+2b_1XY+c_1y^2)^s}-\frac{1}{(a_2X^2+2b_2XY+c_2y^2)^s}\} =\frac{2\pi}{\sqrt{m}}\ln\{ \sqrt{\frac{a_1}{a_2}}\frac{\eta(\omega_1)\eta(\omega_2)}{\eta(\tau_1)\eta(\tau_2)}\}</math> 이 성립한다.
 
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여기서 
 
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<math>\tau_1=\frac{b_1+i\sqrt{m}}{a_1}</math>, <math>\tau_2=\frac{-b_1+i\sqrt{m}}{a_1}</math>
 
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<math>\omega_1=\frac{b_2+i\sqrt{m}}{a_2}</math>, <math>\omega_2=\frac{-b_2+i\sqrt{m}}{a_2}</math>
 
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<h5 style="line-height: 2em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px;">라마누잔 class invariants 와의 관계</h5>
 
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<math>Q_1(X,Y)=aX^2+2cY^2</math>와 <math>Q_2(X,Y)=2aX^2+cY^2</math>, <math>m=2ac</math>에 대하여 위의 정리를 적용하면, 
 
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<math>\tau=i\sqrt\frac{{2c}}{a}</math>, <math>\omega=i\sqrt{\frac{c}{2a}}=\frac{\tau}{2}</math>
 
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<math>\sum_{(X,Y)\ne (0,0)}\{\frac{1}{(aX^2+2cy^2)^s}-\frac{1}{(2aX^2+cy^2)^s}\}=\frac{2\pi}{\sqrt{m}}\ln\{\sqrt{\frac{1}{2}}(\frac{\eta(\omega)}{\eta(\tau)})^{2}\}=\frac{2\pi}{\sqrt{m}}\ln\{ \sqrt{\frac{1}{2}}(\frac{\eta(\frac{\tau}{2})}{\eta(\tau)})^{2}\}=\frac{2\pi}{\sqrt{m}}\ln\{ \sqrt{\frac{1}{2}}(2^{1/4}g_{\frac{2c}{a}})^{2}\}=\frac{4\pi}{\sqrt{m}}\ln g_{\frac{2c}{a}}</math>
 
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여기서 
 
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*  여기서 <br><math>g_n:=2^{-1/4}f_1(\sqrt{-n})=2^{-1/4}\frac{\eta(\frac{\sqrt{-n}}{2})}{\eta(\sqrt{-n})}</math><br>
 
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* [[라마누잔의 class invariants]] 참조<br>
 
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* http://ko.wikipedia.org/wiki/
 
* http://ko.wikipedia.org/wiki/
 +
* http://en.wikipedia.org/wiki/Epstein_zeta_function
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/Kronecker_limit_formula
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/Kronecker_limit_formula
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/

2009년 10월 28일 (수) 03:16 판

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간단한 소개

\(E(\tau,s) = {\pi\over s-1} + 2\pi(\gamma-\log(2)-\log(\sqrt{y}|\eta(\tau)|^2)) +O(s-1)\)

여기서

\(E(\tau,s) =\sum_{(m,n)\ne (0,0)}{y^s\over|m\tau+n|^{2s}}\) , \(\tau = x + iy\) (\(y > 0\))

 


 

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