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*  양의 정부호인 [[정수계수 이변수 이차형식(binary integral quadratic forms)|정수계수이차형식]] <math>Q(X,Y)=aX^2+bXY+cY^2</math> (즉<math>a>0</math>,<math>\Delta=b^2-4ac<0</math>) 에 대하여 다음과 같은 함수를 정의<br><math>\zeta_Q(s) =\sum_{(X,Y)\ne (0,0)}\frac{1}{(aX^2+bXY+cy^2)^s}</math><br>
 
*  양의 정부호인 [[정수계수 이변수 이차형식(binary integral quadratic forms)|정수계수이차형식]] <math>Q(X,Y)=aX^2+bXY+cY^2</math> (즉<math>a>0</math>,<math>\Delta=b^2-4ac<0</math>) 에 대하여 다음과 같은 함수를 정의<br><math>\zeta_Q(s) =\sum_{(X,Y)\ne (0,0)}\frac{1}{(aX^2+bXY+cy^2)^s}</math><br>
  
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* <math>\tau= {-b\over 2a} + i {\sqrt{|\Delta|}\over 2a}</math> 인 경우 ( <math>-\Delta=|\Delta|</math> )<br><math>E(\tau,s)=(\frac{\sqrt{|\Delta|}}{2})^s \zeta_Q(s)</math><br><math>\zeta_Q(s) = (\frac{2}{\sqrt{|\Delta|}})^s E(\tau,s)</math><br>
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* <math>\tau= {-b\over 2a} + i {\sqrt{|\Delta|}\over 2a}</math> 인 경우 ( <math>-\Delta=|\Delta|</math> )<br><math>E(\tau,s)=(\frac{\sqrt{|\Delta|}}{2})^s \zeta_Q(s)</math><br><math>\zeta_Q(s) = (\frac{2}{\sqrt{|\Delta|}})^s E(\tau,s)</math><br> 크로네커 극한 공식을 적용하면, <br><math>\zeta_Q(s) = (\frac{2}{\sqrt{|\Delta|}})({\pi\over s-1} + 2\pi\gamma-2\pi\log(2)-2\pi\log(\sqrt{y}|\eta(\tau)|^2)))+O(s-1)</math><br><math>=(\frac{2}{\sqrt{|\Delta|}})({\pi\over s-1} + 2\pi\gamma-2\pi\log(2)-2\pi\log(\sqrt{|\Delta|})- \frac{2\cdot 2\pi}{\sqrt{|\Delta|}}\log \frac{|\eta(\tau)|^2}{\sqrt{2a}}+O(s-1)</math><br> 여기서 <br><math>\tau= {-b\over 2a} + i {\sqrt{|\Delta|}\over 2a}</math>, <math>y = {\sqrt{|\Delta|}\over 2a}</math><br>  <br>
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*  크로네커 극한 공식을 적용하면 <br><math>\zeta_Q(s) = (\frac{2}{\sqrt{|\Delta|}})({\pi\over s-1} + 2\pi\gamma-2\pi\log(2)-2\pi\log(\sqrt{y}|\eta(\tau)|^2)))+O(s-1)</math><br><math>(\frac{2}{\sqrt{|\Delta|}})({\pi\over s-1} + 2\pi\gamma-2\pi\log(2)-2\pi\log(\sqrt{|\Delta|})- \frac{2}{\sqrt{|\Delta|}}\log \frac{|\eta(\tau)|^2}{\sqrt{2a}}</math><br> 여기서 <br><math>\tau= {-b\over 2a} + i {\sqrt{|\Delta|}\over 2a}</math>, <math>y = {\sqrt{|\Delta|}\over 2a}</math><br>  <br>
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판별식이 같은 즉 <math>m=b_1^2-a_1c_1=b_2^2-a_2c_2</math> 인 두 이차형식 <math>Q_1(X,Y)=a_1X^2+2b_1XY+c_1Y^2</math>와  <math>Q_2(X,Y)=a_2X^2+2b_2XY+c_2Y^2</math> 에 대하여,
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<math>\lim_{s\to1^{+}}\zeta_{Q_1}(s)-\zeta_{Q_2}(s) = \sum_{(X,Y)\ne (0,0)}\{\frac{1}{(a_1X^2+2b_1XY+c_1y^2)^s}-\frac{1}{(a_2X^2+2b_2XY+c_2y^2)^s}\} =\frac{2\pi}{\sqrt{m}}\ln\{ \sqrt{\frac{a_1}{a_2}}|\frac{\eta(\omega)}{\eta(\tau_1)}|^2\}</math>이 성립한다.
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여기서 
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<math>\tau_1=\frac{-b_1+i\sqrt{m}}{a_1}</math>, <math>\omega_1=\frac{-b_2+i\sqrt{m}}{a_2}</math>
  
 
 
 
 

2009년 10월 28일 (수) 04:09 판

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간단한 소개
  • Epstein 제타함수
    \(E(\tau,s) =\sum_{(m,n)\ne (0,0)}{y^s\over|m\tau+n|^{2s}}\) , \(\tau = x + iy\) (\(y > 0\))
  • 크로네커 극한 공식
    \(E(\tau,s) = {\pi\over s-1} + 2\pi(\gamma-\log(2)-\log(\sqrt{y}|\eta(\tau)|^2)) +O(s-1)\)

 

 

 

이차형식과 제타함수
  • 양의 정부호인 정수계수이차형식 \(Q(X,Y)=aX^2+bXY+cY^2\) (즉\(a>0\),\(\Delta=b^2-4ac<0\)) 에 대하여 다음과 같은 함수를 정의
    \(\zeta_Q(s) =\sum_{(X,Y)\ne (0,0)}\frac{1}{(aX^2+bXY+cy^2)^s}\)
  • \(\tau= {-b\over 2a} + i {\sqrt{|\Delta|}\over 2a}\) 인 경우 ( \(-\Delta=|\Delta|\) )
    \(E(\tau,s)=(\frac{\sqrt{|\Delta|}}{2})^s \zeta_Q(s)\)
    \(\zeta_Q(s) = (\frac{2}{\sqrt{|\Delta|}})^s E(\tau,s)\)
    크로네커 극한 공식을 적용하면, 
    \(\zeta_Q(s) = (\frac{2}{\sqrt{|\Delta|}})({\pi\over s-1} + 2\pi\gamma-2\pi\log(2)-2\pi\log(\sqrt{y}|\eta(\tau)|^2)))+O(s-1)\)
    \(=(\frac{2}{\sqrt{|\Delta|}})({\pi\over s-1} + 2\pi\gamma-2\pi\log(2)-2\pi\log(\sqrt{|\Delta|})- \frac{2\cdot 2\pi}{\sqrt{|\Delta|}}\log \frac{|\eta(\tau)|^2}{\sqrt{2a}}+O(s-1)\)
    여기서 
    \(\tau= {-b\over 2a} + i {\sqrt{|\Delta|}\over 2a}\), \(y = {\sqrt{|\Delta|}\over 2a}\)
     

 

 

(따름정리)

판별식이 같은 즉 \(m=b_1^2-a_1c_1=b_2^2-a_2c_2\) 인 두 이차형식 \(Q_1(X,Y)=a_1X^2+2b_1XY+c_1Y^2\)와  \(Q_2(X,Y)=a_2X^2+2b_2XY+c_2Y^2\) 에 대하여,

\(\lim_{s\to1^{+}}\zeta_{Q_1}(s)-\zeta_{Q_2}(s) = \sum_{(X,Y)\ne (0,0)}\{\frac{1}{(a_1X^2+2b_1XY+c_1y^2)^s}-\frac{1}{(a_2X^2+2b_2XY+c_2y^2)^s}\} =\frac{2\pi}{\sqrt{m}}\ln\{ \sqrt{\frac{a_1}{a_2}}|\frac{\eta(\omega)}{\eta(\tau_1)}|^2\}\)이 성립한다.

여기서 

\(\tau_1=\frac{-b_1+i\sqrt{m}}{a_1}\), \(\omega_1=\frac{-b_2+i\sqrt{m}}{a_2}\)

 


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