"Fundamental domain의 면적에 대한 지겔의 정리"의 두 판 사이의 차이

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<h5>간단한 소개</h5>
 
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* <math>\Gamma</math> : Fuchsian 군
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(정리) 지겔
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fundamental domain <math>\mathbb H/\Gamma</math>의 면적은 <math>\pi \over 21</math> 이상이다.
  
 
 
 
 
  
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<math>Area(U/N(\Gamma)) \ge \frac{\pi}{21}</math>
 
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을 보이는 일이 남았다.
 
  
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사람들은 유클리드 기하학이 가장 쉬운 기하학이라고 생각을 하지만, 삼각형의 넓이 구하는 일을 생각하면 꼭 그렇지가 않다. 초등학교에 가면 삼각형의 넓이 구하는 방법을 가르쳐주는데, 변의 길이를 적어도 하나는 꼭 알아야 한다. 그런데 hyperbolic geometry에서는 변의 길이를 알필요가 전혀 없다. '''각도가 모든 것을 결정한다'''!!! 삼각형의 세 각이 <math>\alpha, \beta, \gamma</math>로 주어져 있다면
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 hyperbolic geometry에서는 변의 길이를 알필요가 전혀 없다. '''각도가 모든 것을 결정한다'''!!! 삼각형의 세 각이 <math>\alpha, \beta, \gamma</math>로 주어져 있다면
  
 
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<h5>참고할만한 자료</h5>
 
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*  Hurwitz Groups and Surfaces (in <em>[http://www.msri.org/publications/books/Book35/contents.html The Eightfold Way: The Beauty of Klein's Quartic Curve])</em><br>
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** '''A. Murray Macbeath''', 103-113
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** [http://www.msri.org/publications/books/Book35/files/macbeath.ps.gz Postscript file compressed with gzip] / [http://www.msri.org/publications/books/Book35/files/macbeath.pdf PDF file]
 
* http://ko.wikipedia.org/wiki/
 
* http://ko.wikipedia.org/wiki/
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/

2009년 4월 21일 (화) 18:21 판

간단한 소개
  • \(\Gamma\) : Fuchsian 군
  • \(\mathbb H\) : 복소평면의 상반평면(즉 허수부가 0보다 큰 복소수 집합)

 

(정리) 지겔

fundamental domain \(\mathbb H/\Gamma\)의 면적은 \(\pi \over 21\) 이상이다.

 

(증명)

 

 hyperbolic geometry에서는 변의 길이를 알필요가 전혀 없다. 각도가 모든 것을 결정한다!!! 삼각형의 세 각이 \(\alpha, \beta, \gamma\)로 주어져 있다면

\( Area = \pi - \alpha- \beta- \gamma\)

이제 Unit Disk를 겹치지 않으면서도 빽빽하게 채울수 있는 가장 작은 삼각형은 무엇인지를 알아야 할 필요가 있다. 이 문제는 풀려고 든다면 사실,

\(1- (\frac{1}{l}+\frac{1}{m}+\frac{1}{n})\)

를 0보다 크면서 동시에 가장 작게 만드는 자연수 l,m,n 를 찾는 것과 같게 된다.

정답은 바로 아래의 그림에 있다. 혹시나 이런 그림을 읽을줄 모르는 사람들을 오늘 이걸 잘 봐둬서 앞으로 이런 류의 그림을 볼때 편안한 마음을 가질수 있도록 한다.


그림에 있는 삼각형 한 조각을 들고 와서 각을 잰다. 어떻게 하면 되겠는가. 각을 재려는 점 주변에 삼각형이 몇개 있는지 세서 나누면 된다. 각각 4조각, 6조각, 14조각이 있다. 그러므로 각도는

\( \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{7}\)

로 주어진다. 이를 (2,3,7) 삼각형이라 부른다. 위의 넓이 공식에 의하면, 이 삼각형의 넓이는

\( Area = \pi - \frac{\pi}{2}- \frac{\pi}{3}- \frac{\pi}{7}=\frac{\pi}{42}\)

한 편 우리가 찾고 있는 것은 automorphisms of Riemann surface이므로 당연히 orientation을 보존하고 따라서 초록색타일과 검은색타일은 서로 섞일수가 없다. 따라서 fundamental domain의 넓이도

\( \frac{\pi}{42}\)

의 두배 이상은 되어야 한다. 즉

\(Area(U/N(\Gamma)) \ge \frac{\pi}{21}\)

 

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