"프로베니우스와 체보타레프 밀도(density) 정리"의 두 판 사이의 차이

수학노트
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<h5>간단한 소개</h5>
 
<h5>간단한 소개</h5>
  
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* decomposition of a prime ideal and its relation with the cycle structure via the Artin symbol
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* prime ideal의 분해와  아틴 심볼을 통한 cycle 구조와의 관계
 
* 갈루아 체확장 L/K,
 
* 갈루아 체확장 L/K,
  
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<math>\mathbb Q \subset \mathbb Q(\zeta_n)</math> , <math>\wp</math> 는 unramified prime ideal over p 를 가정한다.
 
<math>\mathbb Q \subset \mathbb Q(\zeta_n)</math> , <math>\wp</math> 는 unramified prime ideal over p 를 가정한다.
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n-th cyclotomic 다항식 <math>\psi_n(x)=\text{irr}(\zeta_n,x)</math> 로 두자.
 
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먼저 p의 분해는 <math>\psi_n(x) \pmod p</math> 를 통해서 알 수 있다.
 
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한편 이는
 
  
 
이제 소수 p에 대한 아틴 심볼은  <math>\sigma_p(\alpha)=\alpha ^p \pmod \wp</math> 로 정의된다.
 
이제 소수 p에 대한 아틴 심볼은  <math>\sigma_p(\alpha)=\alpha ^p \pmod \wp</math> 로 정의된다.
  
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체보타레프 정리에 의해 p의 분해는 아틴 심볼의 cycle 구조를 통해서 알 수 있다.
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<math>\sigma_p(\zeta)=\zeta ^p=\zeta^{an+b}=\zeta^b</math> 이므로, 아틴심볼은 p를 으로 나눈 나머지에 의존한다.
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한편 <math>\sigma_p(\zeta)=\zeta ^p=\zeta^{an+b}=\zeta^b</math> 이므로, 아틴심볼은 p를 n으로 나눈 나머지에 의존한다.
  
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따라서 체보타레프 정리에 의해 디리클레 정리가 증명된다.
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따라서 의해 디리클레 정리가 증명된다.
  
 
 
 
 

2009년 6월 29일 (월) 21:07 판

간단한 소개
  • prime ideal의 분해와  아틴 심볼을 통한 cycle 구조와의 관계
  • 갈루아 체확장 L/K,

 

 

아틴 심볼의 정의

 

정리

 

 

 

 

디리클레 정리의 유도

\(\zeta_n\)을 primitive n-th 단위근이라 하자.

\(\mathbb Q \subset \mathbb Q(\zeta_n)\) , \(\wp\) 는 unramified prime ideal over p 를 가정한다.

이제 소수 p에 대한 아틴 심볼은  \(\sigma_p(\alpha)=\alpha ^p \pmod \wp\) 로 정의된다.

체보타레프 정리에 의해 p의 분해는 아틴 심볼의 cycle 구조를 통해서 알 수 있다.

한편 \(\sigma_p(\zeta)=\zeta ^p=\zeta^{an+b}=\zeta^b\) 이므로, 아틴심볼은 p를 n으로 나눈 나머지에 의존한다.

따라서 의해 디리클레 정리가 증명된다.

 

 

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