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*  양자군의 이론에서 중요한 역할<br>
 
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** 양자군(quantum group) = non co-commutative quasi-triangular Hopf algebra
 
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* 군의 정의를 abstract nonsense를 사용하여 표현하기
 
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*  a group is a set <math>G&bg=ffffff&fg=000000&s=0</math> equipped with<br>
 
*  a group is a set <math>G&bg=ffffff&fg=000000&s=0</math> equipped with<br>
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** an inversion map <math>S: G \to G</math>
 
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** an identity element <math>1:+*+\to+G&bg=ffffff&fg=000000&s=0</math>, where <math>*&bg=ffffff&fg=000000&s=0</math> is a one point set.
 
** an identity element <math>1:+*+\to+G&bg=ffffff&fg=000000&s=0</math>, where <math>*&bg=ffffff&fg=000000&s=0</math> is a one point set.
 
** <math>\epsilon:+G+\to+*&bg=ffffff&fg=000000&s=0</math>  (trivial representation, counit)
 
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** <math>\Delta:+G+\to+G+\times+G&bg=ffffff&fg=000000&s=0</math>, diagonal map: <math>g+\mapsto+(g,g)&bg=ffffff&fg=000000&s=0</math>.
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** <math>\Delta: G \to G \otimes G</math>, diagonal map: <math>g \mapsto g\otimes g</math>.
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*  결합법칙<br><math>\mu \circ (id, \mu) = \mu \circ (\mu,id)</math><br>
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*  결합법칙<br><math>\mu \circ (\mu \otimes \operatorname{id})=\mu \circ (\operatorname{id}\otimes \mu)</math><br>
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*  역원에 대한 조건 (원소에 그 역원을 곱하면 항등원을 얻는다)<br><math>\mu \circ (id, S) \circ \Delta = 1 \circ \epsilon = \mu \circ (S,id) \circ \Delta</math>, i.e., multiplying an element with its inverse yields the unit.<br>
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*  역원에 대한 조건 (원소에 그 역원을 곱하면 항등원을 얻는다)<br><math>\mu \circ (\operatorname{id}\otimes S) \circ \Delta = \mu \circ (S\otimes \operatorname{id}) \circ \Delta=1 \circ \epsilon</math>, i.e., multiplying an element with its inverse yields the unit.<br>
 
* 일반적으로 군을 정의할 때 드러나지 않는 <math>\epsilon:+G+\to+*&bg=ffffff&fg=000000&s=0</math> , <math>\Delta:+G+\to+G+\times+G&bg=ffffff&fg=000000&s=0</math>를 도입함으로써, 군을 abstract nonsense 만으로 표현할 수 있게 된다
 
* 일반적으로 군을 정의할 때 드러나지 않는 <math>\epsilon:+G+\to+*&bg=ffffff&fg=000000&s=0</math> , <math>\Delta:+G+\to+G+\times+G&bg=ffffff&fg=000000&s=0</math>를 도입함으로써, 군을 abstract nonsense 만으로 표현할 수 있게 된다
  

2012년 7월 28일 (토) 04:55 판

이 항목의 수학노트 원문주소

 

 

개요
  • 호프 대수(Hopf algebra) = bi-algebra with an antipoe
  • '군(group)' (군론(group theory) 항목 참조) 개념의 일반화
  • 양자군의 이론에서 중요한 역할
    • 양자군(quantum group) = non co-commutative quasi-triangular Hopf algebra

 

 

군(group) revisited
  • 군의 정의를 abstract nonsense를 사용하여 표현하기
  • a group is a set \(G&bg=ffffff&fg=000000&s=0\) equipped with
    • a multiplication map \(\mu: G \otimes G \to G\)
    • an inversion map \(S: G \to G\)
    • an identity element \(1:+*+\to+G&bg=ffffff&fg=000000&s=0\), where \(*&bg=ffffff&fg=000000&s=0\) is a one point set.
    • \(\epsilon:+G+\to+*&bg=ffffff&fg=000000&s=0\)  (trivial representation, counit)
    • \(\Delta: G \to G \otimes G\), diagonal map: \(g \mapsto g\otimes g\).
  • 결합법칙
    \(\mu \circ (\mu \otimes \operatorname{id})=\mu \circ (\operatorname{id}\otimes \mu)\)
  • 역원에 대한 조건 (원소에 그 역원을 곱하면 항등원을 얻는다)
    \(\mu \circ (\operatorname{id}\otimes S) \circ \Delta = \mu \circ (S\otimes \operatorname{id}) \circ \Delta=1 \circ \epsilon\), i.e., multiplying an element with its inverse yields the unit.
  • 일반적으로 군을 정의할 때 드러나지 않는 \(\epsilon:+G+\to+*&bg=ffffff&fg=000000&s=0\) , \(\Delta:+G+\to+G+\times+G&bg=ffffff&fg=000000&s=0\)를 도입함으로써, 군을 abstract nonsense 만으로 표현할 수 있게 된다

 

 

 

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