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* counit 은 <math> \epsilon : C_{\rho}\to k, u\mapsto u(e) </math> 로 정의되며, 다음을 만족한다 :<math>(\operatorname{id}\otimes \epsilon) \circ \mu =\operatorname{id}, (\epsilon \otimes \operatorname{id}) \circ \mu=\operatorname{id} </math> | * counit 은 <math> \epsilon : C_{\rho}\to k, u\mapsto u(e) </math> 로 정의되며, 다음을 만족한다 :<math>(\operatorname{id}\otimes \epsilon) \circ \mu =\operatorname{id}, (\epsilon \otimes \operatorname{id}) \circ \mu=\operatorname{id} </math> | ||
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| + | =관련도서== | ||
| + | * Miller. 1968. [http://books.google.de/books/about/Lie_theory_and_special_functions.html?id=XJ9RiMLiOigC&redir_esc=y Lie Theory and Special Functions]. Academic Press. | ||
| + | * Vilenkin, Naum I︠A︡kovlevich. 1968. [http://books.google.de/books/about/Special_Functions_and_the_Theory_of_Grou.html?id=08hPoGgSQFIC&redir_esc=y Special Functions and the Theory of Group Representations]. American Mathematical Soc. | ||
2012년 10월 8일 (월) 09:22 판
개요
- 대수(algebra) 의 쌍대
- special function 의 이론에서 얻어지는 덧셈공식을 이해하기 위한 틀
정의
- k : ring
- k-module C에 정의된 comultiplication \(\mu : C \to C \otimes C\)과 counit \(\epsilon : C\to k\) 이 다음을 만족시킬 때, 공대수(coalgebra) 라 한다
\[(\operatorname{id}\otimes \mu) \circ \mu = (\mu \otimes \operatorname{id})\circ \mu\] \[(\operatorname{id}\otimes \epsilon) \circ \mu =\operatorname{id}, (\epsilon \otimes \operatorname{id}) \circ \mu=\operatorname{id}\]
삼각함수의 덧셈공식와 공대수
\[\sin(\alpha \pm \beta) = \sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta \] \[\cos(\alpha \pm \beta) = \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta\]
- 공대수 구조
- \( \{s,c\} \) 를 기저로 갖는 벡터공간에 다음과 같은 comultiplication 과 counit 을 정의
\[\mu(s)=s\otimes c+c\otimes s, \mu(c)=c\otimes c-s\otimes s\] \[\epsilon(s)=0,\epsilon(c)=1\]
군론과 special functions
- 군 G의 유한차원 표현 \( \rho : G \to V \)가 주어진 경우
- V의 적당한 기저를 선택하여, 행렬 \((\rho_{i,j}(g))\) 를 얻는다
- \(\rho_{i,j}\) 는 G에 정의된 함수들로 이루어진 유한차원 벡터공간 \(C_{\rho}\) 를 span 한다
- \(g,h\in G\)에 대하여, \(\rho_{i,j}(gh)=\sum_{t=1}^{n}\rho_{i,t}(g)\rho_{t,j}(g)\)가 성립하므로 comultiplication \(\mu: C_{\rho} \to C_{\rho} \otimes C_{\rho}\) 를 다음과 같이 정의할 수 있다
\[\mu(u)=\sum_{i,j}^n a_{i,j}u_i\otimes u_j\in C_{\rho} \otimes C_{\rho}\] 여기서 모든 \(g,h\in G\)에 대하여, 다음 등식이 성립한다 \[u(gh)=\sum_{i,j}^n a_{i,j}u_i(g)\otimes u_j(h)\]
- coassociativity 가 성립한다 \[(\operatorname{id}\otimes \mu) \circ \mu = (\mu \otimes \operatorname{id}) \circ \mu : C_{\rho}\to C_{\rho} \otimes C_{\rho} \otimes C_{\rho} \]
- counit 은 \( \epsilon : C_{\rho}\to k, u\mapsto u(e) \) 로 정의되며, 다음을 만족한다 \[(\operatorname{id}\otimes \epsilon) \circ \mu =\operatorname{id}, (\epsilon \otimes \operatorname{id}) \circ \mu=\operatorname{id} \]
관련된 항목들
수학용어번역
관련도서=
- Miller. 1968. Lie Theory and Special Functions. Academic Press.
- Vilenkin, Naum I︠A︡kovlevich. 1968. Special Functions and the Theory of Group Representations. American Mathematical Soc.