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2009년 11월 29일 (일) 14:14 판
이 항목의 스프링노트 원문주소
개요
- 라마누잔이 제시한 문제
\(\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{1+5\sqrt{1+6\cdots}}}}} = 3\)
증명
\(n=\sqrt{1+(n-1)(n+1)}\)을 이용
\(\begin{eqnarray*}3 &=& \sqrt{1+2\cdot4}\\ &=& \sqrt{1+2\sqrt{1+3\cdot5}}\\ &=& \sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\cdot6}}}\\ &=& \cdots\end{eqnarray*}\)
수열의 변화를 나타내는 그래프
\(\left\{x,\sqrt{1+2 x},\sqrt{1+2 \sqrt{1+3 x}},\sqrt{1+2 \sqrt{1+3 \sqrt{1+4 x}}},\sqrt{1+2 \sqrt{1+3 \sqrt{1+4 \sqrt{1+5 x}}}},\sqrt{1+2 \sqrt{1+3 \sqrt{1+4 \sqrt{1+5 \sqrt{1+6 x}}}}}\right\}\)
[/pages/2529712/attachments/2586699 nested_radicals.jpg]
매쓰매티카 코드
- f[n_][x_]:=Sqrt[1+n*x]
a[1][x_]:=x
a[n_][x_]:=Composition[a[n-1],f[n]][x]
Table[a[n][x],{n,1,6}]
DiscretePlot[a[n][1],{n,1,50}]
- 결과
\(\left\{x,\sqrt{1+2 x},\sqrt{1+2 \sqrt{1+3 x}},\sqrt{1+2 \sqrt{1+3 \sqrt{1+4 x}}},\sqrt{1+2 \sqrt{1+3 \sqrt{1+4 \sqrt{1+5 x}}}},\sqrt{1+2 \sqrt{1+3 \sqrt{1+4 \sqrt{1+5 \sqrt{1+6 x}}}}}\right\}\)
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